Mahler measure evaluations of polynomial families constructed via certain Möbius transformations

Autor: Nair, Siva Sankar
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2024
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Druh dokumentu: Diplomová práce
Popis: Les polynômes sont une entité fondamentale en mathématiques, notamment en théorie des nombres. Les fonctions de hauteur sont utilisées pour étudier les polynômes de manière systématique et, dans de nombreux cas, simplifient grandement la preuve de théorèmes complexes. Les fonctions \(L\) forment une autre classe d'objets mathématiques qui trouvent une grande importance dans la théorie des nombres. La célèbre fonction zêta de Riemann est l'un des exemples les plus connus et les plus fondamentaux d'une fonction \(L\). Cette thèse s'articule autour de la mesure de Mahler, une fonction de hauteur sur les polynômes qui apparaît souvent comme des valeurs spéciales des fonctions \(L\) et forme un lien mystérieux entre ces deux domaines de recherche. Notre objectif est d'explorer trois questions concernant la mesure de Mahler de plusieurs familles de polynômes construites via certaines transformations de Möbius. Le premier résultat, publié dans [Bull. Lond. Math. Soc. 55 (2023), 1129-1142], décrit une famille de transformations non triviales qui, appliquées à n'importe quel polynôme, donnent des polynômes de plus en plus complexes sans changer sa mesure de Mahler. Cela conduit à plusieurs identités entre la mesure de Mahler des polynômes et résout de nombreuses relations conjecturales. Dans le deuxième résultat, nous obtenons des formules explicites pour la mesure de Mahler des familles polynomiales pouvant avoir autant de variables que souhaité. Ces mesures de Mahler sont exprimées en termes de valeurs \(\zeta\) et de valeurs \(L\) correspondant au caractère primitif de Dirichlet de conducteur 3. Le résultat s'appuie sur les idées de Lalín pour construire de telles familles de \(n\)-variables dans un nouveau direction, ouvrant les portes à de nombreuses autres relations intéressantes du même genre. Ce résultat a été soumis pour publication. Enfin, notre troisième résultat, accepté pour publication, concerne la mesure de Mahler d'une autre famille de polynômes \(n\)-variables qui ont des degrés non linéaires, par opposition aux familles des travaux de Lalín et à notre deuxième résultat dans lequel chaque variable avait un degré linéaire. Ce résultat conduit à l'expression de la mesure de Mahler en termes de plusieurs polylogarithmes de longueur 2 qui sont réduits à des polylogarithmes de longueur un en utilisant des identités appropriées. Nous présentons certains exemples où ces expressions peuvent être écrites en termes de valeurs zêta et de valeurs de fonctions \(L\) de Dirichlet de caractères de conducteurs 4, 8 et 12.
Polynomials are a fundamental entity in Mathematics, especially in Number Theory. Height functions are useful tools employed to study polynomials in a systematic way and in many cases greatly simplify the proof of complex theorems. \(L\)-functions form another class of mathematical objects that find great importance in Number Theory. The celebrated Riemann zeta function is one of the most well-known and foundational examples of an \(L\)-function. This dissertation revolves around the Mahler measure - a height function on polynomials that often appears as special values of \(L\)-functions and forms a mysterious link between these two areas of research. We aim to explore three questions concerning the Mahler measure of several polynomial families that are constructed via certain Möbius transformations. The first result, published in [Bull. Lond. Math. Soc. 55 (2023), 1129-1142], describes a family of non-trivial transformations which when applied on any polynomial, yields increasingly complex polynomials without changing its Mahler measure. This leads to several identities involving the Mahler measure of polynomials and resolves many conjectural relations. In the second result, we obtain explicit formulae for the Mahler measure of polynomial families that can have as many variables as desired. These Mahler measures are expressed in terms of \(\zeta\)-values and \(L\)-values corresponding to the primitive Dirichlet character of conductor 3. The result builds on the ideas of Lalín for constructing such \(n\)-variable families in a new direction, opening the doors to possibly many more interesting relations of the same kind. This result has been submitted for publication. Finally, our third result, accepted for publication, concerns the Mahler measure of yet another \(n\)-variable polynomial family which has non-linear degree, as opposed to the families in the work of Lalín and our second result in which each variable had linear degree. This result leads to the expression of the Mahler measure in terms of several length 2 polylogarithms which are reduced to length one polylogarithms using appropriate identities. We present certain examples where these expressions can be written in terms of zeta values and values of Dirichlet \(L\)-functions of characters with conductors 4, 8 and 12.
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