K-théorie pour les C*-algèbres de pavages de Penrose hyperboliques
| Autor: | Collin, Pierre-Henry |
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| Jazyk: | francouzština |
| Rok vydání: | 2018 |
| Předmět: | |
| Druh dokumentu: | Text |
| Popis: | Etant donnée une substitution de dimension 1, notée $\sigma$, nous pouvons définir l'enveloppe $\Omega_\sigma$ formant un système dynamique $(\Omega_\sigma, \R)$ où l'action de $\R$ sur les pavages est donnée par les translations. Si la substitution est primitive alors nous pouvons construire un pavage $P$ du demi-plan de Poincaré $\mathbb H_2 $ muni de sa métrique $\frac{\mathrm d x + \mathrm d y}{y^2}$. De manière analogue nous pouvons construire des enveloppes pour les actions de $N= \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto z +t, t\in \R\}$ et $G = \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto a z +b,(a,b) \in \R_+ ^* \times \R\}$ que l'on notera respectivement $X_P ^N$ et $X_{P(c)}^G$ (où $P(c)$ est le pavage colorié ligne à ligne pour rendre l'action de $G$ libre).\par En utilisant la notion de $C^* $-algèbre de groupoïde ainsi que les résultats obtenus dans l'article de Ian Putnam et Jared Anderson et via l'isomorphisme issu de l'équivalence Morita entre $C((\Xi \times \R)/\As)$ et $C(\Xi) \rtimes \Z$, nous pouvons donner la description de la $C^*$-algèbre de l'enveloppe du pavage hyperbolique en termes de générateurs et relations. Nous terminons par la description des générateurs de la $K$-théorie de $C(X_{P(c)}^G) \rtimes G.$ pour les substitutions de Fibonacci, Thue-Morse et Tribonacci Given a one dimensional substitution $\sigma$, one can define the continuous hull $\Omega_\sigma$ for the $\R$-action given by translations and so we obtain a dynamical system $(\Omega_\sigma,\sigma)$. If the substitution we choose is primitive, then we can construct an hyperbolic tiling on Poincaré's half-plane equiped with its standard metric $\frac{\mathrm d x +\mathrm d y}{y^2}$. By analogy of the standard case, we can define two continuous hulls, denoted $X_P ^ N $ and $X_{P(c)}^G$, where $P(c)$ is a colored tiling (in such fashion that the action of $G$ is free), and the groups are denoted respectively $N= \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto z +t, t\in \R\}$ and $G = \{ \mathbb{H}_2 \to \mathbb{H}_2, z \mapsto a z +b,(a,b) \in \R_+ ^* \times \R\}$.\par Using Jean Renault's construction of the reduced $C^*$-algebra of a groupoid, the results of Ian Putnam and Jared Anderson and the Morita equivalence between $C((\Xi\times \R)/\As)$ and $C(\Xi) \rtimes \Z$, we describe the $C^*$-algebra of the hyperbolic tiling using generators and relations. Finally we obtain for the Fibonacci, Thue-Morse and Tribonacci substitutions the full description of the generators of $K_* (C(X_{P(c)}^G ) \rtimes G) |
| Databáze: | Networked Digital Library of Theses & Dissertations |
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