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La transformation de Legendre envoie des fonctions convexes définies sur un espace vectoriel à des fonctions convexes définies sur l'espace vectoriel dual. Elle est reliée à la dualité projective, aux coordonnées tangentielles en géometrie algébrique et à la construction des espaces de Banach duaux en analyse. On l'utilise aussi en mécanique statistique pour définir des potentiels thermodynamiques à partir des fonctions de variables d'état. Plus précisément, la transformation de Legendre permet de transformer une fonction d'état d'un système en une autre fonction d'état mieux adaptée à un problème particulier. Le chapitre un se veut un résumé des résultats connus à propos de la transformation de Legendre en analyse. Nous donnons plusieurs exemples afin d'illustrer les propriétés essentielles de cette transformation. Dans le chapitre deux, nous rappelons quelques notions en thermodynamique statistique: Les variables intensives, les variables extensives, l'énergie interne, l'entropie. Ensuite nous définissons les potentiels thermodynamiques qui sont des transformées de Legendre de l'énergie interne. Dans le chapitre trois, nous rappelons des résultats fondamentaux de la théorie des espèces de structures. Mentionnons en particulier le théorème de dissymétrie pour les arbres et pour les graphes, ainsi que les équations fonctionnelles fondamentales pour les CB-graphes, i.e les graphes connexes dont tous les blocs sont dans une classe des graphes inséparables B, ainsi que pour les CM-graphes, i.e les graphes connexes dont toutes les mottes sont dans une classe de graphes irréductibles (2-arêtes-connexes). Dans le chapitre quatre, nous donnons la définition de la transformation de Legendre pour les espèces de structures à une sorte ou à deux sortes par rapport à une sorte. En effet, Pierre Leroux a été le premier à relier ces deux notions (Transformation de Legendre et espèces de structures). Il a démontré (Leroux, 2003) que les CM-graphes sont liées au M-graphes par transformation de Legendre. Dans ce mémoire on montre par une construction originale que l'espèce M des graphes irréductibles peut être remplacée par une espèce N quelconque, avec N[0] =0. ___ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Fonctions convexes, Ensembles convexes, Transformation de Legendre, Potentiels thermodynamiques, Énergie interne, Fonction de partition, Graphes, Isthme, Bloc, Motte, Graphes inséparables, Graphes irréductibles, Espèce de structures, Note. |
