| Popis: |
Le télescopage créatif est un principe algorithmique développé depuis les années 1990 en combinatoire et en calcul formel, notamment depuis les travaux de Doron Zeilberger, pour calculer avec des sommes et intégrales paramétrées, que ce soit pour trouver des formes explicites ou pour justifier des identités intégrales ou sommatoires. Le procédé est particulièrement adapté à une grande famille de fonctions et suites données par des équations linéaires différentielles et de récurrences, que ce soient des fonctions spéciales de l'analyse, des suites de la combinatoire, ou des familles de polynômes orthogonaux. Dans ce mémoire, je retrace l'évolution des algorithmes et de mes contributions pour adapter le procédé à des classes de fonctions de plus en plus générales, du cadre initial des suites hypergéométriques, données par des récurrences d'ordre 1, aux cas de fonctions données par des équations d'ordre supérieur, ceci jusqu'aux fonctions données par des idéaux non zéro-dimensionnels. La difficulté d'obtenir des implantations rapides dans tous ces cas repose sur le calcul d'un certificat justifiant l'application du télescopage créatif, ce certificat étant par nature de grande taille. Ceci m'a motivé dans l'étude de la complexité du procédé. Plusieurs pistes d'amélioration ont été explorées, d'abord en essayant de maintenir compact ce certificat, puis en obtenant des algorithmes validés sans passer par son calcul. Comme souvent, l'estimation des tailles arithmétiques des objets intervenant dans le telescopage créatif a à la fois guidé le développement de nouveaux algorithmes plus efficaces et permis leur estimation théorique de complexité. Pour finir, j'indique brièvement la direction qu'a prise mes travaux récents sur le sujet, vers la preuve formelle, et qui font ressortir des pistes pour une meilleure justification de l'application du télescopage créatif. |
