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La réécriture algébrique dans les systèmes d'équationsdifférentielles polynomiales consiste à transformerun système d'équations polynomiales différentiellesordinaires ou aux dérivées partielles en un systèmeéquivalent, uniquement par manipulations symboliques,sans essayer ni de résoudre les équations sous forme close nide les intégrer numériquement. Plusieurs algorithmes dédiés àce domaine ont été mis au point ces quinze dernières annéesdans l'équipe « calcul formel » du LIFL, dont « Rosenfeld-Gröbner »,que j'ai inventé en 1994 lors de ma thèse de troisième cycle et quiconstitue le coeur du paquetage MAPLE diffalg.Le mémoire résume l'activité de recherche que j'ai menée depuis dix ans, soitdirectement soit en collaboration : approfondir la théorie sous-jacente del'élimination en algèbre différentielle, lui chercher des applications etla diffuser auprès des scientifiques non spécialistes.Le lecteur trouvera dans le mémoire des approfondissements théoriquessur la notion de solution d'un système différentiel polynomial(théorème de François Lemaire) et la notion de « chaîne différentiellerégulière » (leur équidimensionnalité en particulier).Plusieurs nouveaux algorithmes sont présentés : « PARDI » (un cas particulierde Rosenfeld-Gröbner mieux adapté à plusieurs applications),un algorithme de changement d'ordre inspiré de FGLM fondé sur lesdifférentielles de Kähler, « reg-characteristic » et « regalise » quiévitent le recours aux bases de Gröbner dans la deuxième partie de« Rosenfeld-Gröbner ». Ce dernier est clarifié et optimisé.L'équipe « calcul formel » fait partie de l'Institut de RechercheInterdisciplinaire. Les deux applications présentées relèventdes Sciences du Vivant. Elles sont toutes deux menées en collaboration.Il s'agit d'estimation de paramètres (projet LÉPISME avec Lilianne Denis-Vidalet Ghislaine Joly-Blanchard (UTC)) et de modélisation du cycle cellulairede l'algue verte « ostreococcus tauri » (François-Yves Bouget (Banyuls),Marc Lefranc (Phlam)).Diffuser l'élimination différentielle exige de produire des composantslogiciels simples d'emploi. Le mémoire évoque rapidement le paquetagediffalg de MAPLE (interactif, 1996). Il insiste sur BLAD (bibliothèquesen langage C, destinées à préparer le travail des intégrateurs numériques)qui a demandé un investissement de plusieurs années. Diffuser l'éliminationdifférentielle exige de produire aussi des documents pédagogiques. Le mémoirelui-même constitue une tentative en ce sens. |
