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L'étude de la stabilité et de l'instabilité des systèmes hamiltoniens proches de systèmes intégrables est un problème ancien et difficile en systèmes dynamiques. Il y a deux types de théorèmes : i) Les résultats of stabilité sur des temps infinis obtenus avec la théorie K.A.M. qui sont valables sur un ensemble de Cantor de grande mesure mais on a très peu d'informations sur les autres trajectoires et même une instabilité importante peut se développer. ii) D'autre part, des résultats de stabilité sur des ensembles ouverts mais seulement sur un temps exponentiellement long par rapport à la taille de la perturbation. Ce deuxième type de résultats est du à N.N. Nekhorochev qui a établi en 1977 un théorème de stabilité global en temps exponentiellement long dans le cas où le hamiltonien non perturbé (intégrable) est escarpé. C'est à dire s'il vérifie certaines conditions de transversalité qui sont génériquement satisfaites par les fonctions infiniment différentiables. Notamment, les fonctions convexes sont escarpées. L'étude de cette notion et ses conséquences n'a pas été reprise depuis la démonstration originale de Nekhorochev malgrés la densité de la classe des fonctions escarpées et différents exemples issus de la physique où le hamiltonien intégrable considéré est escarpé mais pas convexe. Dans ce mémoire, on présente tout d'abord une démonstration notablement simplifiée du théorème de Nekhorochev. Ceci permet d'obtenir des estimations raffinées sur les temps de stabilité qui sont essentiellement optimales dans le cas convexe. D'autre part, Y. Ilyashenko a donné une caractérisation géométrique des fonctions escarpées dans le cas holomorphe. On reprend cette étude à l'aide d'outils de géométrie sous analytique réelle (lemme de sélection de courbe et exposants de Lojaciewicz). Ceci permet d'étendre le résultat d'Ilyashenko au cas réel et de montrer clairement que les hypothèses d'escarpement sont presques minimales pour assurer la stabilité effective des systèmes hamiltoniens proches d'un système intégrable. On en déduit aussi des méthodes de calcul explicites des constantes intervenant dans ce type de théorème. Enfin, on montre un théorème de stabilité en temps exponentiellement long pour des systèmes hamiltoniens presques-intégrables avec une condition de non-dégénérescence sur le hamiltonien non perturbé strictement plus faible que la raideur. L'intérêt de ce raffinement vient du fait qu'il permet d'établir un résultat de stabilité générique avec des exposants fixes. Il s'agit de généricité au sens de la mesure (ensembles prévalents suivant la terminologie de Kaloshin) parmi les fonctions réelle-analytiques. Ce résultat est obtenu grâce à l'application d'une version quantitative du théorème de Sard due à Yomdin. |
