Керованість систем лінійних диференціальних рівнянь з частинними похідними

Autor: Alexander Makarov
Jazyk: English<br />Russian<br />Ukrainian
Rok vydání: 2021
Předmět:
Zdroj: Visnik Harkivsʹkogo Nacionalʹnogo Universitetu im. V.N. Karazina. Cepiâ Matematika, Prikladna Matematika i Mehanika, Vol 93, Pp 4-11 (2021)
Druh dokumentu: article
ISSN: 2221-5646
2523-4641
DOI: 10.26565/2221-5646-2021-93-01
Popis: Останнім часом теорія керованості вивчалася в багатьох роботах. Але чимало з них присвячено керованим системам, які описуються звичайними диференціальними рівняннями. У випадку систем, які описуються диференціальними рівняннями з частинними похідними, вони вивчалися здебільшого для класичних рівнянь математичної фізики. Наприклад, у роботах Г. Скляра і Л. Фардиголи було вивчено проблеми керованості для хвильового рівняння на пів осі. У цій роботі проблему повної керованості вивчено для систем лінійних диференціальних рівнянь зі сталими коефіцієнтами в просторах Шварца швидко спадних функцій. Одержано необхідні і достатні умови повної керованості цих систем з розподіленим керуванням спеціального вигляду: u(x,t)=e-αtu(x). Для доведення цих умов було використано інші необхідні і достатні умови, одержані автором раніше (див. роботу ``Керованість еволюційного диференціального рівняння в частинних похідних''. Вісник Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна. Серія ``Математика, прикладна математика і механіка''. 2016. Т. 83, с. 47-56 Так система $$\frac{\partial w(x,t)}{\partial t} = P\left(\frac\partial{i\partial x} \right) w(x,t)+ e^{-\alpha t}u(x),\quad t\in[0,T], \ x\in\mathbb R^n,$$ є повністю керованою в просторі Шварца, якщо існує α>0 таке, що $$\det\left( \int_0^T \exp\big(-t(P(s)+\alpha E)\big)\, dt\right)\neq 0,\quad s\in\mathbb R^N.$$ Ця умова єквівалентна наступній умові: існує $\alpha>0$ таке, що $$ \exp\big(-T(\lambda_j(s)+\alpha)\big)\neq 1,\quad \text{якщо}\ (\lambda_j(s)+\alpha)\neq0,\qquad s\in\mathbb R^n,\ j=\overline{1,m}, $$ де $\lambda_j(s)$, $j=\overline{1,m}$, є власними значеннями матриці $P(s)$, $s\in\mathbb R^n$. Також досліджено окремий випадок системи~(\ref{Makarov-2021_f2-1}), для якої $\operatorname{Re} \lambda_j(s)$, $s\in\mathbb R$,\linebreak $j=\overline{1,m}$, є обмеженими зверху або знизу. Наприклад, системи~(\ref{Makarov-2021_f2-1}), які є коректними за Петровським, є повністю керованими. Одержано також умови існування системи вигляду~(\ref{Makarov-2021_f2-1}), яка не є повністю керованою. Наведено приклад такої системи. Проте, якщо керування заданого вигляду не існує, то може існувати керування іншого вигляду. Приклад, що ілюструє цей ефект, також наведено в роботі.
Databáze: Directory of Open Access Journals
Externí odkaz: