About periodic and quasi-periodic orbits of a new type for twist maps of the torus

Autor: SALVADOR ADDAS-ZANATA
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2002
Předmět:
Zdroj: Anais da Academia Brasileira de Ciências, Vol 74, Iss 1, Pp 25-31 (2002)
Druh dokumentu: article
ISSN: 0001-3765
1678-2690
DOI: 10.1590/S0001-37652002000100003
Popis: We prove that for a large and important class of C¹ twist maps of the torus periodic and quasi-periodic orbits of a new type exist, provided that there are no rotational invariant circles (R.I.C's). These orbits have a non-zero "vertical rotation number'' (V.R.N.), in contrast to what happens to Birkhoff periodic orbits and Aubry-Mather sets. The V.R.N. is rational for a periodic orbit and irrational for a quasi-periodic. We also prove that the existence of an orbit with a V.R.N = a > 0, implies the existence of orbits with V.R.N = b, for all 0 < b < a. And as a consequence of the previous results we get that a twist map of the torus with no R.I.C's has positive topological entropy, which is a very classical result. In the end of the paper we present some applications and examples, like the Standard map, such that our results apply.Provamos que para uma relevante classe de aplicações C¹ no toro, que desviam a vertical para a direita, existem órbitas periódicas e quase-periódicas de um novo tipo, se e somente se, não existem círculos rotacionais invariantes. Essas órbitas têm um número de rotação vertical não nulo (N.R.V), em contraste com o que ocorre para órbitas periódicas do tipo Birkhoff e para os conjuntos de Aubry-Mather. O número de rotação vertical é racional para uma órbita periódica e irracional para uma quase-periódica. Também provamos que a existência de uma órbita com N.R.V = a implica a existência de órbitas com N.R.V = b, para todo 0 < b < a. Como consequência destes resultados, obtemos que uma aplicação do toro que desvia a vertical e não possui círculos rotacionais invariates, necessariamente tem entropia topológica positiva, que é um resultado clássico. No fim deste trabalho apresentamos aplicações e exemplos, como o Standard map, dos resultados obtidos.
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