On the growth of a composition of entire functions
| Autor: | Sheremeta, M. M. |
|---|---|
| Jazyk: | angličtina |
| Rok vydání: | 2018 |
| Předmět: | |
| Zdroj: | Carpathian Mathematical Publications; Vol 9, No 2 (2017); 181-187 Карпатские математические публикации; Vol 9, No 2 (2017); 181-187 Карпатські математичні публікації; Vol 9, No 2 (2017); 181-187 |
| Popis: | Let $\gamma$ be a positive continuous on $[0,\,+\infty)$ function increasing to $+\infty$ and $f$ and $g$ be arbitrary entire functions of positive lower order and finite order. In order that for $$\lim\limits_{r\to+\infty} \frac{\ln\ln\,M_{f(g)}(r)}{\ln\ln\,M_f(\exp\{\gamma(r)\})}=+\infty, \quad M_f(r)=\max\{|f(z)|:\,|z|=r\}, $$ it is necessary and sufficient that $(\ln\,\gamma(r))/(\ln\,r)\to 0$ as $r\to+\infty$. This statement is an answer to the question posed by A.P. Singh and M.S. Baloria in 1991.Also in order that $$ \lim\limits_{r\to+\infty}\frac{\ln\ln\,M_F(r)} {\ln\ln\,M_f(\exp\{\gamma(r)\})}=0,\quad F(z)=f(g(z)), $$ it is necessary and sufficient that $(\ln\,\gamma(r))/(\ln\,r)\to \infty$ as $r\to+\infty$. Нехай $\gamma$ -додатна, неперервна і зростаюча до $+\infty$ на $[0,\,+\infty)$ функція, а $f$ і $g$ - довільні цілі функції додатного нижнього порядку і скінченногo порядку.Для того, щоб $ \lim\limits_{r\to+\infty} \frac{\ln\ln\,M_{f(g)}(r)}{\ln\ln\,M_f(\exp\{\gamma(r)\})}=+\infty, \quad M_f(r)=\max\{|f(z)|:\,|z|=r\}, $ необхідно і досить, щоб $(\ln\,\gamma(r))/(\ln\,r)\to 0$ при $r\to+\infty$. Це твердження є відповіддю на питання, поставлене А. Сінхом і М. Балоріа у 1991 р.Також для того, щоб $ \lim\limits_{r\to+\infty}\frac{\ln\ln\,M_F(r)} {\ln\ln\,M_f(\exp\{\gamma(r)\})}=0,\quad F(z)=f(g(z)), $ необхідно і достатньо, щоб $(\ln\,\gamma(r))/(\ln\,r)\to \infty$ при $r\to+\infty$. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
|