Моделирование резонанса качающейся пружины на основе синтеза траектории движения ее груза
| Autor: | Kutsenko, Leonid, Vanin, Volodymyr, Shoman, Olga, Yablonskyi, Petro, Zapolskiy, Leonid, Hrytsyna, Natalia, Nazarenko, Sergii, Danylenko, Volodymyr, Sivak, Elizaveta, Shevchenko, Serhii |
|---|---|
| Jazyk: | angličtina |
| Rok vydání: | 2019 |
| Předmět: | |
| Zdroj: | Eastern-European Journal of Enterprise Technologies; Том 3, № 7 (99) (2019): Applied mechanics; 53-64 Восточно-Европейский журнал передовых технологий; Том 3, № 7 (99) (2019): Прикладная механика; 53-64 Східно-Європейський журнал передових технологій; Том 3, № 7 (99) (2019): Прикладна механіка; 53-64 |
| ISSN: | 1729-3774 1729-4061 |
| Popis: | The paper reports a technique for building the resonance trajectories of the motion of a swinging spring load. A swinging spring is the kind of a mathematical pendulum consisting of a point load attached to a weightless spring. The other end of the spring is fixed immovably. We have considered the pendulum-like spring oscillations in a vertical plane provided its axis straightness is maintained. Calculations have been performed based on the solutions to a system of differential equations with components that include values for the frequency values of vertical and horizontal displacements of a point on a spring.The relevance of the subject is predetermined by the necessity to study the technological processes of dynamic systems when the nonlinearly connected oscillatory components of the system exchange energy. Using a swinging spring phenomenon illustrates the exchange of energies between the transverse (pendulum) and longitudinal (spring) oscillations. In this case, we also take into consideration the influence of the initial conditions for initiating oscillations. Of particular importance is to study the resonance state of a swinging spring when the frequency of longitudinal oscillations differs by a multiple number of times from the frequency of transverse oscillations. In addition to a common «classic» case (resonance 2:1), there is a need to consider cases with different values for the frequency ratio. The result is the derived geometric shapes of the motion trajectory of a swinging spring load that correspond to the patterns in the state of its resonance.The results obtained in the current paper make it possible, by using a computer, to synthesize the motion trajectory of a swinging spring load that would match the assigned frequency ratio of longitudinal and transverse oscillations. For this purpose, in addition to basic parameters (a load’s mass, rigidity of the spring, its length in a no-load state), we added the initial values for the parameters during oscillation initiation. Specifically, the «starting» coordinates for a load position, and the initial load motion velocities in the direction of the coordinate axes. We have considered examples of building a load motion’s trajectories for cases of resonances the type of 2:1, 7:3; 9:4; and 11:2. The results obtained are illustrated by the computerized animations of oscillations of appropriate swinging springs for different cases of resonance.The results could be used as a paradigm in order to study the nonlinear connected systems, as well as in the calculation of variants for mechanical devices where springs affect the oscillation of their elements. Additionally, for cases when the technology of using mechanical devices necessitates abandoning the chaotic movements of loads in order to ensure the periodic trajectories of their displacements. Наведено спосіб побудови резонансних траєкторій руху вантажу хитної пружини. Хитною пружиною (swinging spring) називають різновид математичного маятника, який складається з точкового вантажу, приєднаного до невагомої пружини. Другий кінець пружини фіксується нерухомо. Розглядаються маятникоподібні коливання пружини у вертикальній площині за умови збереження прямолінійності її осі. Розрахунки виконано на базі розв'язків системи диференціальних рівнянь, з компонентами, у які входять значення частот вертикальних і горизонтальних переміщень точки на пружині.Актуальність теми визначається необхідністю дослідження технологічних процесів динамічних систем, коли нелінійно зв'язані коливальні компоненти системи обмінюються енергією між собою. За допомогою феномена хитної пружини ілюструється обмін енергіями між поперечними (маятниковими) і поздовжніми (пружинними) коливаннями. При цьому також враховується вплив початкових умов ініціювання коливань. Особливе значення має дослідження стану резонансу хитної пружини - коли частота поздовжніх коливань відрізняється в кратну кількість разів від частоти поперечних коливань. Крім розповсюдженого "класичного" випадку (резонансу 2:1) є необхідність розв’язувати задачі з іншими значеннями відношення частот. В результаті було знайдено геометричні форми траєкторії руху вантажу хитної пружини, які відповідають особливостям стану її резонансу.Одержані результати дозволяють за допомогою комп'ютера синтезувати траєкторію руху вантажу хитної пружини, яка відповідатиме заданому відношенню частот поздовжніх і поперечних коливань. Для цього, крім основних параметрів (маси вантажу, жорсткості пружини та її довжини в ненавантаженому стані), ще залучаються початкові значення параметрів ініціювання коливань. А саме, «стартові» координати положення вантажу, та початкові швидкості рухів вантажу в напрямку координатних осей. Розглянуто приклади побудови траєкторій руху вантажу для випадків резонансів типу 2:1, 7:3, 9:4 і 11:2. Одержані результати проілюстровано комп'ютерними анімаціями коливань відповідних хитних пружин для різних випадків резонансу.Результати можна використати як парадигму для вивчення нелінійних зв'язаних систем, а також при розрахунках варіантів механічних пристроїв, де пружини впливають на коливання їх елементів. А також у випадках, коли у технологіях використання механічних пристроїв необхідно відмежуватися від хаотичних рухів вантажів і забезпечити періодичні траєкторії їх переміщень Приведен способ построения резонансных траекторий движения груза качающейся пружины. Качающейся пружиной (swinging spring) называют разновидность математического маятника, состоящего из точечного груза, присоединенного к невесомой пружине. Второй конец пружины фиксируется неподвижно. Рассматриваются маятникоподобные колебания пружины в вертикальной плоскости при условии сохранения прямолинейности ее оси. Расчеты выполнены на базе решений системы дифференциальных уравнений, с компонентами, в которые входят значения частот вертикальных и горизонтальных перемещений точки на пружине.Актуальность темы определяется необходимостью исследования технологических процессов динамических систем, когда нелинейно связанные колебательные компоненты системы обмениваются энергией между собой. С помощью феномена качающейся пружины иллюстрируется обмен энергиями между поперечными (маятниковыми) и продольными (пружинными) колебаниями. При этом также учитывается влияние начальных условий инициирования колебаний. Особое значение имеет исследование состояния резонанса качающейся пружины - когда частота продольных колебаний отличаются в кратное количество раз от частоты поперечных колебаний. Кроме распространенного "классического" случая (резонанса 2:1) возникает необходимость рассматривать случаи с другими значениями отношения частот. В результате были найдены геометрические формы траектории движения груза качающейся пружины, которые отвечают особенностям состояния ее резонанса.Полученные результаты позволяют при помощи компьютера синтезировать траекторию движения груза качающейся пружины, которая будет отвечать заданному отношению частот продольных и поперечных колебаний. Для этого, кроме основных параметров (массы груза, жесткости пружины и ее длины в ненагруженном стане), еще привлекаются начальные значения параметров инициирования колебаний. А именно, «стартовые» координаты положения груза, и начальные скорости движений груза в направлении координатных осей. Рассмотрены примеры построения траекторий движения груза для случаев резонансов типа 2:1, 7:3, 9:4 и 11:2. Полученные результаты проиллюстрированы компьютерными анимациями колебаний соответствующих качающихся пружин для разных случаев резонанса.Результаты можно использовать как парадигму для изучения нелинейных связанных систем, а также при расчетах вариантов механических устройств, где пружины влияют на колебание их элементов. А также в случаях, когда в технологиях использования механических устройств необходимо отмежеваться от хаотичных движений грузов и обеспечить периодические траектории их перемещений |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
|