Применение экспоненциальных функций в методе взвешенных невязок в структурной механике на примере статического и вибрационного анализа прямоугольной пластины

Rok vydání: 2021
Předmět:
Zdroj: Mechanics and Advanced Technologies; Том 5 № 1 (2021)
Mechanics and Advanced Technologies; Vol. 5 No. 1 (2021)
ISSN: 2521-1943
2522-4255
Popis: The paper is continuation of our efforts on application of the properly constructed sets of exponential functions as the trial (basic) functions in weighted residuals method, WRM, on example of classical tasks of structural mechanics. The purpose of this paper is justification of new method’s efficiency as opposed to getting new results. So, static deformation and free vibration of isotropic thin – walled plate are considered here. Another peculiarity of paper is choice of weight (test) functions, where three options are investigated: it is the same as trial one (Galerkin method); it is taken as results of application of differential operator to trial function (least square method); it equals to the second derivative of trial function with respect to both x and y coordinate (moment method). Solution is considered as product of two independent sets of functions with respect to x or y coordinates. Each set is the combination of five consequent exponential functions, where coefficient at first function is equal to one, and four other coefficients are to satisfy two boundary conditions at each opposite boundary. The only arbitrary value in this method is the scaling factor at exponents, the reasonable range of which was carefully investigated and was shown to have a negligible impact on results. Static deformation was investigated on example of simple supported plate when outer loading is either symmetrical and concentrated near the center or is shifted to any corner point. It was demonstrated that results converge to correct solution much quickly than in classical Navier method, while moment method seems to be a best choice. Then method was applied to free vibration analysis, and again the accuracy of results on frequencies and mode shape were excellent even at small number of terms. At last the vibration of relatively complicated case of clamped – clamped plate was analyzed and very encouraged results as to efficiency and accuracy were achieved.
Данное исследование является продолжением наших усилий по применению специально построенных наборов последовательных экспоненциальных функций как пробных (базисных) функций в методе взвешенных невязок (МВН) на примере классических задач структурной механики. Статья не направлена на получение новых результатов, а посвящена обоснованию эффективности предлагаемого метода. Рассматриваются статическая деформация и свободные колебания изотропной тонкостенной квадратной пластины. Особенностью работы является выбор весовых (поверочных) функций в трех вариантах: как пробных функций (метод Галеркина, МГ); как функций, являющихся результатом применения дифференциального оператора к пробным функций (метод наименьших квадратов, МНК); как функций, являющихся произведениями вторых производных от пробных функций по x и y (метод моментов, ММ). Решение строится как произведение двух независимых множеств функций относительно координат x и y. Каждое множество представляет собой комбинацию пяти последовательных экспоненциальных функций, в которой первый коэффициент равен 1, а четыре другие коэффициента определяются из граничных условий на противоположных сторонах пластины. Произвольным параметром в методе является коэффициент масштабирования в показателях, разумный диапазон которого тщательно исследовался, и показано его влияние на результаты. Статическая деформация исследована на примере простой шарнирно-опертой пластины, когда внешняя нагрузка или симметрична и сосредоточена вблизи центра пластины, или смещена от центра к произвольной угловой точке. Продемонстрировано, что результаты сходятся к точному решению быстрее, чем в классическом методе Навье. ММ и МНК дают лучшую точность при определении изгибающих моментов, чем МГ. Предложенный метод применен к анализу свободных колебаний пластины, точность результатов определения собственных частот является отличной даже при небольшом количестве членов ряда. Проанализированы сравнительно сложный случай - свободные колебания защемленной по всем сторонам пластины, достигнуты очень хорошие результаты по эффективности и точности.
Дослідження є продовженням наших зусиль щодо застосування спеціально побудованих наборів послідовних експоненціальних функцій як пробних (базисних) функцій в методі зважених нев’язок (МЗН) на прикладі класичних задач конструкційної механіки. Стаття не направлена на отримання нових результатів, а присвячена обґрунтуванню ефективності запропонованого методу. Розглядаються статична деформація та вільні коливання ізотропної тонкостінної квадратної пластини. Особливістю роботи є вибір вагових (перевірочних) функцій в трьох варіантах: як пробних функцій (метод Гальоркіна, МГ); як функцій, що є результатом застосування диференціального оператора до пробних функцій (метод найменших квадратів, МНК); як функцій, які є добутком других похідних від пробних функцій по x і y (метод моментів, ММ). Розв’язок будується як добуток двох незалежних множин функцій відносно координат x та y. Кожна множина є комбінацією п'яти послідовних експоненціальних функцій, де перший коефіцієнт дорівнює 1, а чотири інші коефіцієнти визначаються з граничних умов на протилежних сторонах пластини. Довільним параметром в методі є коефіцієнт масштабування в показниках, розумний діапазон якого ретельно досліджено і показано його вплив на результати. Статична деформація досліджена на прикладі простої шарнірно-опертої пластини, коли зовнішнє навантаження або симетричне і зосереджене поблизу центру пластини, або зміщене від центра до будь-якої кутової точки. Продемонстровано, що результати сходяться до точного рішення швидше, ніж у класичному методі Нав'є. ММ та МНК дають кращу точність при визначенні згинаючих моментів, ніж МГ. Запропонований метод застосований до аналізу вільних коливань пластини, точність результатів визначення власних частот є відмінною навіть при невеликій кількості членів ряду. Проаналізовано порівняно складний випадок – вільні коливання защемленої на всіх сторонах пластини, досягнуто дуже хороших результатів щодо ефективності та точності.
Databáze: OpenAIRE
Externí odkaz: