| Popis: |
The finite element method is a widely known numerical method for calculating approximate solutions of ordinary differential equations (ODEs) and partial differential equations (PDEs). This method is a powerful tool in the study of various nonlinear problems and has many applications, such as structural analysis and fluid mechanics. In this thesis we concentrate on applying the method mainly to Fluid Mechanics problems. Initially, we present the method along with the basic theorems and examples. We analyze the a priori errors for linear problems and the base functions that distinguish the problem under consideration. We further present the numerical solution of the one–dimensional nonlinear Duffing equation. Additionally, we concentrate on the two–dimensional Stokes problem. We focus on presenting novel finite element method variants, such as the Discontinuous Galerkin method. The notion of adaptive mesh is also discussed. Lastly, we study the two–dimensional Navier–Stokes equations. We present the formulation of the equations in the classical Galerkin method. These advanced methods provide reliable numerical results in all studied cases. This is achieved with the application of the Finite Element methods to appropriate “test problems”, such as the backward facing step. We obtain all the numerical results utilizing the software programs Matlab and FEniCS. Η μέθοδος των πεπερασμένων στοιχείων είναι μια ευρέως γνωστή αριθμητική μέθοδος για τον υπολογισμό προσεγγιστικών λύσεων συνήθων διαφορικών εξισώσεων (Σ.Δ.Ε.) και μερικών διαφορικών εξισώσεων (Μ.Δ.Ε.). Η μέθοδος είναι ένα πολύ ισχυρό εργαλείο στη μελέτη διαφόρων μαθηματικών μη-γραμμικών προβλημάτων και έχει πολλές εφαρμογές, όπως η δομική ανάλυση και η μηχανική των ρευστών. Σε αυτή τη διατριβή επικεντρωνόμαστε στην εφαρμογή της μεθόδου κυρίως σε προβλήματα Ρευστομηχανικής. Αρχικά παρουσιάζουμε τη μέθοδο μαζί με τα βασικά θεωρήματα και παραδείγματα. Αναλύουμε τα εκ των προτέρων (a priori) σφάλματα για γραμμικά προβλήματα και παρουσιάζουμε τις συναρτήσεις βάσης που εφαρμόζονται στα υπό εξέταση προβλήματα που μελετάμε. Παρουσιάζουμε την αριθμητική λύση της μονοδιάστατης μη-γραμμικής εξίσωσης του Duffing. Επιπλέον, επικεντρωνόμαστε στο δισδιάστατο πρόβλημα του Stokes. Στην εργασία αυτή παρουσιάζουμε νεότερες παραλλαγές των μεθόδων πεπερασμένων στοιχείων, όπως είναι η ασυνεχής μέθοδος του Galerkin. Παρουσιάζεται επίσης η έννοια του τοπικά εκλεπτυσμένου πλέγματος (adaptive mesh). Τέλος, μελετάμε τις δισδιάστατες μη-γραμμικές εξισώσεις των Navier–Stokes εφαρμόζοντας τη κλασική μέθοδο του Galerkin. Αυτές οι προηγμένες μέθοδοι παρέχουν αξιόπιστα αριθμητικά αποτελέσματα σε όλες τις περιπτώσεις που μελετήθηκαν. Αυτό επιτυγχάνεται με την εφαρμογή των μεθόδων Πεπερασμένων Στοιχείων σε κατάλληλα ‘προβλήματα δοκιμής’, όπως είναι η οπίσθια κατάβαση (σκαλί) της ροής (backward facing step). ΄Ολα τα αριθμητικά πειράματα έχουν πραγματοποιηθεί με κώδικά που αναπτύχθηκε στα προγράμματα Matlab και FEniCS. 69 σ. |
