| Popis: |
ÖZET Yapılan bu çalışmada eksen eğrisi sikloid olan çubuğa ait taşıma matrisi verilmiş ve çeşitli yüklemeler altında çubuğun davranışları incelenmiştir. Çubuğun başlangıçtaki yerdeğiştirmelerinin ve kesit tesirlerinin bilinmesi halinde tüm çubuk boyunca yerdeğiştirmelerin ve kesit tesirlerinin analitik olarak hesaplanabilmesini sağlayan Başlangıç Değerleri Yöntemi, Mathematica programının da kullanılmasıyla çok çabuk ve kolay çözümler elde edilmesine yardımcı olmuştur. Başlangıç Değerleri Yöntemi; problemlerin çözümünde hiperstatiklik derecesinin yüksek olmasının ilave bir zorluk getirmemesi üstünlüğüne sahiptir. Bu çalışmada eksen eğrisi sikloid olan sabit enkesitli çubuğa ait farklı üç örnek problem çözülmüştür. Birinci örnek problemde; eksen eğrisi sikloid olan iki ucu ankastre bir sistemin tam orta noktasına bir burulma momenti etki ettirilmiştir. Daha sonra 2. Bölümde elde edilen taşıma matrisi yardımıyla sistemin çözümü yapılmış ve 6 adet olan problemin bilinmeyenleri: binormal doğrultuda yerdeğiştirme, teğet ve normal etrafındaki dönmeler, eğilme ve burulma momentleri ve kesme kuvveti boyutsuz olarak ip açısına bağlı fonksiyonlar şeklinde bulunmuştur. Fakat bulunan bu fonksiyonların uzunluğu nedeniyle uygulama pratikliğinin olmadığı görülmüştür. Bundan dolayı, elde edilen fonksiyon eğrileriyle çakışan, daha kısa olan Yaklaşık Fonksiyonlar araştırılmış ve £ = x/l boyutsuz koordinatına bağlı Yaklaşık Fonksiyon eğrileri elde edilmiştir. Daha sonra elde edilen Yaklaşık Fonksiyonlar ve Kesin Fonksiyonlar karşılaştırılmıştır. Bu durumu göstermek için yaklaşık ve kesin boyutsuz uç kuvvetleri ile yerdeğiştirmelere karşı gelen diyagramlar çizdirilmiştir. Bu diyagramlardan da görülmüştür ki; Kesin ve Yaklaşık Fonksiyonlar birbirleriyle hemen hemen çakışmaktadır. Sonraki aşamada çeşitli v Poisson oranı değerleri için aynı problemin çözümü yapılmış ve bu çözümlerden Kesin ve Yaklaşık Fonksiyonlar elde edilmiştir. Çizilen diyagramlarla bu fonksiyonların da birbirleriyle hemen hemen çakıştığı görülmüştür. Daha sonra v değerleri için elde edilen kesin fonksiyonların uzunluğu nedeniyle sadece Yaklaşık Fonksiyonların yazılması yeterli görülmüştür. Bulunan Yaklaşık Fonksiyonların her v değeri için geçerli olması amacıyla, fonksiyonların katsayıları da z/'ye bağlı olarak elde edilmiş ve Katsayılar Fonksiyonları olarak verilmiştir. ikinci örnek problemde; eksen eğrisi sikloid olan sabit enkesitli kemere orta noktasından düzlemine dik doğrultuda tekil yük etki ettirilmiştir. Aynı şekilde birinci örnek problemde olduğu gibi sikloid için verilen Taşıma Matrisi yardımıyla sistemin çözümü yapılmış, binormal doğrultudaki yerdeğiştirme, teğet ve normal etrafındaki dönmeler, eğilme ve burulma momentleri ve kesme kuvveti olmak üzere 6 adet olan problemin bilinmeyenleri bulunmuştur. Üçüncü örnek problemde; aynı kemere düzlemine dik doğrultuda düzgün yayılı yük etki ettirilmiştir. Aynı şekilde birinci örnek problemde olduğu gibi sikloid için verilen Taşıma Matrisi yardımıyla sistemin çözümü yapılmış ve benzer şekilde problemin bilinmeyenleri bulunmuştur. Elde edilen fonksiyon eğrileriyle çakışan daha kısa olan Yaklaşık Fonksiyonlar araştırılmış ve £ = x/l boyutsuz koordinatına bağlı Yaklaşık Fonksiyon eğrileri elde edilmiştir. Daha sonra elde edilen Yaklaşık Fonksiyonlar ile Kesin Fonksiyonların hemen hemen çakıştığı görülmüştür. Çalışma boyunca Mathematica, Latex, Windows Charisma ve Mathematica programları kullanılmıştır. vıu SUMMARY THE ANALYSIS OF CYCLOIDAL RODS LOADED PERPENDICULAR TO ITS PLANE BY THE METHOD OF INITIAL VALUES In this work the carry-over matrix for a bar of cycloidal axis is given. By the use of the carry-over matrix the behaviour of the bar under various loadings is investigated. The method used in this work is the method of initial values. The method readily gives the values of every unknown at every point. The degree of static indeterminacy brings no extra hardship and the discontinuities caused by singular loads are as easy to take into account as uniformly distributed loads. Since the program Mathematica gives the exponential of any matrix immediately, the solution is easily accessible. As is known ([2], [3]) the governing equations of a plane bar loaded perpendic ular to its plane are as follows: dub dip + PO. = dip L>t dün _ -V/n dip Dn dip dMn m Mt + -r1 - pTb dip d% d/p 0 0 0 0 0 0 Where M4, Mn are torsion and bending moments, TJ, is the shear force, uf, is the displacement perpendicular to the plane; Çlt ve ün are the rotations about the tangent and binormal; Dt ve Dn are torsional rigidity and bending rigidity. If a rod is unloaded, the relations among the stress resultants at any point and initial values can be given by the components Y,j of the carry-over matrix as follows: IXFor a cycloidal rod the curvature changes as p = po COS » 69 po3 sin-p - 12 po3 sin(2` - Dt + 2 Du cos » + 2 Dt + 2 Dn cos 3£>BDt -2p02 cosip po2 cosip po2 (4 cos(2c/3) + 3^ sin(2t/?)) 36 = 9D^ 9Dt + 360; po2 (9 - cos(2t/?) + 666 = 1 Having obtained the members of the carry-over matrix, a number of problems have been solved. The cross-section has been assumed to be a circle. The axis of the polar coordinate system passes through the apex of the cycloid. If the diameter of cross-section is D. then we have `ttD4 ` kD4 Dt = G- -, Dn = E 32 ' 64 where G is the shear modulus, E is the elasticity modulus. Here we denote the ratio of the rigidities by 8 which is equal to 1 + is where v is Poisson ratio. For a rod loaded by a singular moment /i at the apex, the initial values at the apex are XIand at the support p - the boundary values are Ub = o, ftt = o. n` = o The unknown initial values can be obtained by using the boundary values given at the support. The non-dimensional quantities ML = nj Mn n' = a uh Ub PPo Dn 1 VPo Dn UPo2 are used throughout. The computation proves to be tedious since the mem bers of the carry-over matrix are quite complicated functions. To make it more amenable some polynomial expressions to replace exact expressions of members are searched. The approximate polynomials give very accurate results. This brought the generalization of the approximate polynomials to expressions de pending on a parameter, namely v. So, the polynomials are given in such para metric expressions that for a. chosen u an adequate approximation polynomial is obtainable. The actual expressions are given below: M' = fM + fM (0-5 - 0* + fM (0.5 - o + /](0-5-O3 - iiM(0.5-O*+iaM(0.5-O + İ3M(o.5-ol+İ4H(o.5-Ol 0.000963917 z/3 = -0.00010422 - 0.167424 v + 0.0536943 v2 - 0.0127833 v3 = 0.839022 + 0.0361136 v - 0.0115893 v2 + 0.00275 i/3 = -0.2447 + 0.436736 v - 0.140091 v2 + 0.0333667 v3 = -0.160721 - 0.876242 v + 0.281168 v2 - 0.0670833 v3 = 0.0457752 + 1.81819 v - 0.583189 v2 + 0.138917 v3 = -0.144204 - 1.41041 u + 0.452457 v2 - 0.107833 v3 = -0.497154 - 0.0235738 v + 0.00757857 v2 - 0.00183333 v3 = 0.974523 - 0.876884 v + 0.281257 u2 - 0.067 v3 = -1.47285 + 6. 1274 v - 1.96543 ı/2 + 0.46825 v3 = 4.16917 - 17.0663 v + 5.47446 v2 - 1.3045 v3 = -3.66198 + 15.6649 v - 5.02426 v2 + 1.1965 v3 = -0.0000194332 + 0.00274524 v + 0.00215157 v2 = 1.16953 + 0.194824 v - 0.403179 v2 + 0.0958333 v3 = 0.339917 - 2.74505 u - 1.65021 v2 + 0.39275 v3 = 0.184447 - 6.0583 v - 3.61539 v2 + 0.8605 v3 = 0.365668 - 4.97314 v - 3.0479 v2 + 0.726583 u3 = 0.000348252 - 0.00016823 v - 8.92857 10-8 v2 + 8.33333 10~: = 1.37726 + 0.0704071 v + 0.0000714286 u2 + 3.67761 10-15 v3 = -1.32376 + 0.131076 v + 0.000678571 v2 - 0.000833333 v3 = -0.519892 - 0.39585 v + 4.01103 10~14 v2 - 1.54425 10~14 v3 = -0.218581 - 0.06527 v + 1.22706 10~14 v2 - 3.27516 10`15 v3 = -0.0212921 + 0.014034 v - 8.92857 10~6 v2 + 8.33333 10 = 0.137894 - 0.0501993 v + 7.14286 10-6 v2 - 2.88485 10 = 0.349363 + 0.197201 v + 7.14286 10-6 u2 + 7.14706 10 = -0.544926 - 0.186959 v + 7.14286 10~6 v2 ~ 1.24102 10~14 v3 -6 3 V 1-15 u3 ı-16 3 1 V yi V X1UThe nondimensional exact and approximate torsional moments for v = 0.3 As a second problem, the rod fixed at both ends is loaded by a singular force at center. The cross-section is a circle again. Here the initial values are and the boundary conditions at the support are ub = 0 a = o nn = o After obtaining the unknown initial values using boundary conditions, all of the unknowns of the problem are obtained. Again appropriate approximate polynomials for the members of the carry-over matrix are constructed and their adequacy is demonstrated. M'tv[Ç] = 0.166638 -0.4 1 1446 (0.5 -£)* XIV- 0.187913 (0.5 - £)* + 0.439658 (0.5 - £) + 0.239632 (0.5 - £)2 + 0.132826 (0.5 - £)5 Ky/(] = 0.249975 + 0.279149(0.5-0' - 1.05165 (0.5 - 0* - 0.0788922 (0.5 - £) + 0.0345617 (0.5 -03 Sl'ty[£] = 0.292009 - 0.321704(0.5 - Ç)* - 0.279224 £ - 0.710495 £2 + 0.587412 £4 - 0.731745 £6 = 0.0000281703 - 0.786625 (0.5 - £)* + 0.616909 (0.5 - f ) + 0.76457 (0.5 - if - 0.256536 (0.5 - if = -0.0000210361 + 0.0183551 (0.5 - £)« - 0.0911131 (0.5 - f ) - 0.24438 (0.5 - £)* + 0.375556 (0.5 - £)* Ky/İ/ |
