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The description of many natural phenomena is given thanks to the theory of differential equations and calculus. The latter has evolved in recent decades into what is known as fractional calculus, consolidating itself as a powerful tool that has largely made up for the limitations of integer calculus. In this work, we use tools from calculus with fractional derivatives in time and space to study an initial value problem for a nonlinear Klein-Gordon-Schrödinger system (KGS) in Rn × R, with n ≥ 1, considering general polynomial nonlinearities including, in particular, the classical Yukawa model describing the interaction between nucleons and scalar mesons. We analyse time decay estimates for the associated linear system and demonstrate the existence of local and global mild solutions of the fractional KGS system with initial data in the framework of weak L p spaces. Finally we study the asymptotic behavior of the global mild solutions. Declaración de Autoría............................................................................................................................................................................................................................................. V Resumen........................................................................................................................................................................................................................................................................... IX Agradecimientos....................................................................................................................................................................................................................................................... XIII Introducción...................................................................................................................................................................................................................................................................... 1 1. Preliminares.................................................................................................................................................................................................................................................................. 5 1.1. Espacios Lp . .................................................................................................................................................................................... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2. Espacios Lp débiles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................................................ 6 1.3. Funciones de Mittag-Leffler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................................. 13 2. Cálculo Fraccionario............................................................................................................................................................................................................................................. 15 2.1. Algunos antecedentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................ 15 2.2. Integral fraccionaria de Riemann-Liouville . . . . . . . . . . . . . . . .................................................................................................................................................... 17 3. Sistema Klein-Gordon-Schrödinger (KGS) de orden fraccionario......................................................................................................................................... 21 3.1. Formulación integral del sistema KGS . . . . . . . . . . . . . . . . . . ....................................................................................................................................................... 23 3.2. Estimativas lineales de decaimiento temporal . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................ 25 3.3. Estimativas de las no linealidades del sistema . . . . . . . . . . . . . . ............................................................................................................................................ 30 3.4. Solución local y global del sistema . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .......................................................................................................................................................... 37 3.5. Comportamiento asintótico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ................................................................................................................................................................ 43 4. Conclusiones ............................................................................................................................................................................................................................................................47 4.1. Conclusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .............................................................................................................................................................................. 47 4.2. Trabajos futuros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ........................................................................................................................................................................... 47 Bibliografía .....................................................................................................................................................................................................................................................................49 La descripción de muchos fenómenos de la naturaleza se da gracias a la teoría de ecuaciones diferenciales y el cálculo. Este último ha evolucionado en las últimas décadas en lo que se conoce como el cálculo fraccionario, consolidándose como una herramienta poderosa que ha permitido suplir en gran medida las limitaciones del cálculo entero. En este trabajo, usamos herramientas del cálculo con derivadas fraccionarias en tiempo y espacio, para estudiar un problema de valor inicial para un sistema no lineal de Klein-Gordon-Schrödinger (KGS) en Rn × R, con n ≥ 1, considerando no linealidades polinómicas generales que incluyen, en particular, el modelo clásico de Yukawa que describe la interacción entre nucleones y mesones escalares. Analizamos estimativas de decaimiento temporal para el sistema lineal asociado y demostramos la existencia de soluciones mild locales y globales del sistema fraccionario KGS con datos iniciales en el marco de los espacios L p débiles. Por último estudiamos el comportamiento asintótico de las soluciones globales. Maestría Magister en Matemáticas Trabajos de Investigación y/o Extensión |
