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This thesis is devoted to the study of the initial value problem for a nonlinear plate equation in Rn × (0, ∞) with initial data in Modulation spaces, which includes the Bessel-potential Hs p and Besov B s p,q spaces, for large enought regularity index s. We derive a set of time-decay estimates for the corresponding linear plate equation on the framework of modulation spaces, and then, we use these results to analyze the existence and asymptotic stability of global solutions of the nonlinear problem. Declaración de Autoría ............................................................................................................................................................................................................................................. V Resumen ......................................................................................................................................................................................................................................................................... VII Agradecimientos ......................................................................................................................................................................................................................................................... XI INTRODUCCIÓN ............................................................................................................................................................................................................................................................. 1 1. PRELIMINARES .......................................................................................................................................................................................................................................................... 5 1.1. Lemas técnicos ........................................................................................................................................................................................................................................................ 5 1.2. Espacios $L^p$ ...................................................................................................................................................................................................................................................... 11 1.3. Transformada de Föurier ............................................................................................................................................................................................................................... 13 1.4. Espacio de Schwartz ........................................................................................................................................................................................................................................ 17 1.5. Transformada de Föurier en $L^2$ ....................................................................................................................................................................................................... 20 1.6. Distribuciones temperadas .......................................................................................................................................................................................................................... 21 1.7. Espacios de Sobolev ......................................................................................................................................................................................................................................... 24 1.8. Espacios de modulación .............................................................................................................................................................................................................................. 29 2. ESTIMATIVAS DE DECAIMIENTO ............................................................................................................................................................................................................... 39 2.1. Planteamiento del problema .................................................................................................................................................................................................................... 39 2.2. Estimativas de decaimiento en $L^{\infty}$ y $H^s_p$ ......................................................................................................................................................... 40 2.3. Estimativas de decaimiento en $M^s_{p,q}$ .................................................................................................................................................................................. 51 2.3.1. Estimativa de $\Vert \Lambda_{\theta,\frac{1}{2}}(t) g \Vert_{M^s_{p,q}}$ ................................................................................................................. 52 2.3.2. Estimativa de $\Vert \partial_t \Lambda_{\theta,1}(t) g \Vert_{M^{s-1}_{p,q}}$ ...................................................................................................... 57 2.3.3. Estimativa de $\Vert \partial_t S(t) u_0 \Vert_{M^{s}_{p,q}}$ ............................................................................................................................................ 60 2.3.4. Estimativa de $\Vert \partial_t^2 S(t) u_0 \Vert_{M^{s-1}_{p,q}}$ ................................................................................................................................... 63 2.3.5. Estimativa de $\Vert S(t) \Delta u_1 \Vert_{M^{s}_{p,q}}$ ..................................................................................................................................................... 66 2.3.6. Estimativa de $\Vert \partial_t S(t) \Delta u_1 \Vert_{M^{s-1}_{p,q}}$ ........................................................................................................................... 67 3. RESULTADOS DE EXISTENCIA ..................................................................................................................................................................................................................... 68 3.1. Espacios de solución ....................................................................................................................................................................................................................................... 68 3.2. Estimativas de no linealidad en espacios de Modulación .................................................................................................................................................... 68 3.3. Existencia de soluciones locales y globales en espacios de Modulación ................................................................................................................... 76 4. DISPERSIÓN Y ESTABILIDAD ASÍNTOTICA ........................................................................................................................................................................................ 83 5. CONCLUSIONES ................................................................................................................................................................................................................................................... 88 5.1. Conclusiones ......................................................................................................................................................................................................................................................... 88 5.2. Trabajos futuros ................................................................................................................................................................................................................................................. 88 Bibliografía ..................................................................................................................................................................................................................................................................... 89 Este trabajo está dedicado al estudio de un problema de valor inicial para una ecuación no lineal de placas en $\mathbb{R}^{n} \times (0,\infty)$ con datos iniciales en espacios de modulación, que incluye el espacio de potenciales de Bessel $H^{s}_{p}$ y espacios de Besov $B^{s}_{p,q}$, para índices de regularidad $s$ suficientemente grande. Derivamos un conjunto de estimaciones de decaimiento en tiempo para la ecuación de placa lineal correspondiente en el marco de los espacios de modulación, y luego usamos estos resultados para analizar la existencia y la estabilidad asintótica de las soluciones globales del problema no lineal. Maestría Magister en Matemáticas Trabajos de Investigación y/o Extensión |
