Modellierung Inverser Probleme der Magnetpartikelbildgebung und ihr Einsatz im Unterricht
| Autor: | Kuess, Raphael |
|---|---|
| Jazyk: | němčina |
| Rok vydání: | 2022 |
| Předmět: |
Modellierung im Mathematikunterricht
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| Popis: | Die Magnetpartikelbildgebung ist ein dynamisches Bildgebungsverfahren für medizinische Anwendungen, das auf dem Verhalten von in einen Körper injizierten superparamagnetischen Nanopartikel bei Anlegen eines äußeren Magnetfeldes, beruht, ohne dass dabei der Körper einer Strahlenbelastung ausgesetzt ist. Dieses Verfahren eignet sich daher beispielsweise zur Krebserkennung. Ziel dieser Arbeit ist es einerseits, das inverse Problem des Kalibrierungsprozesses der Magnetpartikelbildgebung zu formulieren, wenn dabei die Interaktion der Partikel untereinander vernachlässigt wird. Um dieses erste Ziel zu erreichen, wird ein mathematisches Modell zur Magnetisierungsdynamik im Mikromagnetsimus vorgestellt. Hierbei wird das effektive Magnetfeld so modelliert, dass die Partikel-Partikel-Wechselwirkung vernachlässigt und damit die Austauschenergie nicht berücksichtigt wird, aber dafür die Anisotropie-Energie hinzugefügt wird. Daraus resultiert eine gewöhnliche Differentialgleichung, nämlich die Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung für die wir eine alternative Darstellung herleiten und die eindeutige Lösbarkeit überprüfen. Im Zuge dessen werden allgemeine Erkenntnisse zu gewöhnlichen Differentialgleichungen vorgestellt und in das Thema der inversen Probleme eingeführt. Das Ziel des inversen Problems ist der Erhalt eines Modells für die Systemfunktion der Magnetpartikelbildgebung, um den langsamen Kalibrierungsprozess vermeiden zu können, in Form einer daten- und modellgetriebene Rekonstruktion der Systemfunktion, um die Modellparameter entsprechend dem Partikelverhalten anpassen zu können. Schlussendlich wird dann dieses inverse Problem in zwei verschiedenen Formulierungen dargestellt, nämlich der all-at-once und der reduzierten Formulierung.Anderseits verfolgt diese Arbeit das Ziel diese Anwendung im Schulunterricht einzusetzen. Hierbei dient die mathematische Modellierung als zentrale Leitidee zur Umsetzung in der Schule. Im Zuge dessen wird der Blum'sche Modellierungskreislauf erweitert und von einer allgemeineren Perspektive aus betrachtet. Konkret wird dargelegt, was man unter mathematischer Modellierung versteht, warum diese im Unterricht wichtig ist und warum darin gewöhnliche Differentialgleichungen eine wichtige Rolle spielen. Auf dieser Grundlage aufbauend wird ein Projekt entwickelt, welches auf der zuvor behandelten Modellierung des inversen Problems des Kalibrierungsprozesses in der magnetischen Partikelbildgebung aufbaut. Hierin steht vor allem die das mathematische Modellieren, Experimentieren und Erkunden der Landau-Lifshitz-Gilbert Gleichung im Vordergrund. Im Zuge dessen werden die bildungsrechtlichen Rahmenbedienung der Durchführung dieses Projektes geklärt. Außerdem finden sich das Wesen und die Ziele des Projekts in der fachdidaktischen Einordnung und der bildungstheoretischen Grundlage wieder. Abschließend wird ein Unterrichtsleitfaden zur Durchführung des Projekts vorgestellt, inklusive Arbeitsblättern und möglicher medialer Unterstützung. Raphael Kuess Diplomarbeit Universität Klagenfurt 2022 |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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