| Popis: |
Cilj ovog diplomskog rada je izučavanje nekih značajnih svojstava simetrala kutova trokuta. Rad se sastoji od četiri poglavlja. Nakon uvodnog poglavlja, u drugom poglavlju bavimo se teoremom o simetrali kuta u trokutu. Dajemo nekoliko dokaza tog teorema kao i njegove inačice. Kao primjenu, dobivamo eksplicitne formule za duljine simetrala kutova trokuta. Nadalje, u istom poglavlju izvodimo nekoliko zanimljivih nejednakosti koje uključuju simetrale kutova trokuta. U trećem poglavlju dajemo nekoliko primjena jednostavne činjenice da simetrala kuta trokuta raspolavlja odgovarajući luk opisane kružnice trokuta. Nadalje, primjenom glavnih rezultata iz drugog i trećeg poglavlja rješavamo neke složenije geometrijske probleme s brojnih matematičkih natjecanja za srednjoškolce. Konačno, u četvrtom poglavlju dajemo nekoliko dokaza Steiner - Lehmusovog teorema koji kaže da ako trokut ima dvije simetrale kutova jednakih duljina, onda je on jednakokračan. In the present thesis, we study some interesting properties of angle bisectors in a triangle. The thesis is divided into four chapters as follows: after an introductory chapter, in Chapter 2 we give several variants and proofs of an angle bisector theorem. As an application, we derive formulas for lenghts of angle bisectors of a triangle. Further, we also study some inequalities involving angle bisectors of a triangle. In Chapter 3 we utilize a simple fact that an angle bisector of a triangle bisects the corresponding arc of a circumscribed circle. As an application of main results from Chapters 2 and 3, we also solve some geometry problems appearing on numerous mathematical competitions for high school students. Finally, in Chapter 4 we give several proofs of the Steiner - Lehmus theorem which asserts that if the triangle has two equal angle bisectors, then it is isosceles. |
