| Popis: |
Galton-Watsonov proces ili jednostavan proces grananja je prvi stohastički model razvoja populacije. Proces kreće od jedne jedinke te se svaka jedinka razmnožava jednako i nezavisno od ostalih s određenom distribucijom potomaka. U ovom diplomskom radu bavimo se Galton-Watsonovim stablima. Najprije uvodimo skup diskretnih stabala, definiciju stabla i određene podskupove stabla koji će nam biti od interesa kao što su: širina stabla na određenoj razini, listovi, podstablo stabla iznad određenog čvora i podstablo stabla s određenom visinom. Nakon toga smo spremni definirati Galton-Watsonovo stablo, koje ustvari predstavlja Galton-Watsonov proces kada promatramo širinu stabla na određenoj razini, odnosno broj jedinki iste generacije. S obzirom na distribuciju potomaka, preciznije njenom očekivanju \(m\), razlikujemo kritična (\(m=1\)), sub-kritična (\(m1\)) Galton-Watsonova stabla. Potvrđujemo da je vjerojatnost izumiranja najmanja fiksna točka funkcije izvodnice distribucije potomaka stabla na intervalu \(\left[0,\:1\right]\), međutim ona je jednaka \(1\) samo za kritična i sub-kritična stabla. Također, super-kritično stablo uvjetno na događaj izumiranja je distribuirano jednako kao sub-kritično stablo s određenom distribucijom potomaka. Na kraju pokazujemo da se na događaju preživljavanja veličina populacije Galton-Watsonovog procesa sa super-kritičnom distribucijom ponaša kao konačna slučajna konstanta pomnožena s \(m^n\), u slučaju kada je \(\mathbb{E}\left[X\ln^+(X)\right]1\)) Galton-Watson trees. We confirm that the probability of extinction is the smallest fixed point of the generating function of the tree’s offspring distribution on the interval \(\left[0,\:1\right]\). However, it is equal to 1 only for critical and sub-critical trees. Also, the super-critical tree conditionally on the extinction event is equally distributed as a sub-critical tree with a special offspring distribution. Finally, we show that at the survival event the population size of the Galton-Watson process with super-critical distribution behaves as a finite random constant multiplied by \(m^n\), when \(\mathbb{E}\left[X\ln^+(X)\right] |
