| Popis: |
Posljednjih godina, motivirani zahtjevima iz primjena, mnogi matematičari svoja su istraživanja usmjerili na slučajne matrice rastućih dimenzija. U ovom radu opisani su razlozi usmjeravanja pažnje na uzoračke kovarijacijske i korelacijske matrice podataka te pripadne svojstvene vrijednosti i svojstvene vektore. U prvom poglavlju je napravljen kratak pregled dosadašnjih rezultata na temu asimptotskog ponašanja najvećih svojstvenih vrijednosti slučajnih kovarijacijskih matrica rastućih dimenzija u kontekstu tzv. gaussovskih matrica. Također, napravljen je pregled rezultata u slučaju razdioba s regularno varirajućim repovima, kod kojih je razvoj teorije išao sporije. Naredna poglavlja bave se recentnim rezultatima u slučaju razdioba s regularno varirajućim repovima. Drugo poglavlje sadrži rezultate najnovijih istraživanja o asimptotskom ponašanju najveće svojstvene vrijednosti uzoračke kovarijacijske matrice za matricu podataka s nezavisno jednako distribuiranim komponentama, čije pripadne distribucije karakterizira težak rep. Također, prikazani su rezultati o svojstvenim vektorima pridruženim najvećim svojstvenim vrijednostima i generalizacija na autokovarijacijske matrice. U trećem poglavlju uvedena je zavisnost između redaka i stupaca matrice podataka. Nadalje, prikazano je kako se asimptotska konvergencija najveće svojstvene vrijednosti može dobiti iz konvergencije odgovarajućeg točkovnog procesa. Konačno, u četvrtom poglavlju su ilustrirani rezultati iz prethodnih poglavlja na simuliranim i empirijskim podacima. Na kraju je provedena kratka analiza vremenskih nizova komponenti S&P 500 dioničkog indeksa. In recent years, motivated by the application, many mathematicians have been focusing their research on random matrices of growing dimensions. This Master’s Thesis describes the reason why great attention is paid to the sample covariance and correlation data matrices and their eigenvalues and the corresponding eigenvectors. In the first chapter, in the context of so-called Gaussian data matrices, a brief review of the results on the asymptotic behaviour of the largest eigenvalues and corresponding eigenvectors of random covariance matrices with growing dimensions is presented. Also, an overview of the results in the case of the distributions which satisfy regular variation condition was made, where the development of the theory progressed more slowly. Chapters afterwards contain recent results in the case of distributions which satisfy regular variation condition. The second chapter contains the results of the newest research on the asymptotic behavior of the largest eigenvalue of the sample covariance matrix for data matrix with independent and identically distributed components, coming from heavy tailed distribution. Also, the results on the eigenvectors associated with the largest eigenvalues, as well as the generalization on the autocovariance matrices, are presented. The third chapter introduces the dependence between the rows and columns of the data matrix. Furthermore, it is presented that asymptotic convergence of the largest eigenvalue can be obtained from the convergence of the corresponding point processes. Finally, the illustrations on simulated and empirical data of theoretical results from the preceding chapters are given in the fourth chapter. Lastly, a brief analysis of the time series components of the S&P 500 stock index was conducted. |
