| Popis: |
V diplomskem delu obravnavamo problem stabilnosti aditivnih preslikav in izometrij, oboje na evklidskih prostorih. Določimo vse zvezne preslikave, ki zadostijo Cauchyevi funkcijski enačbi na nekem evklidskem prostoru. Definiramo pojem $delta$-aditivna preslikava za $delta > 0$ in dokažemo, da za vsako $delta$-aditivno preslikavo obstaja enolično določena aditivna preslikava, ki jo aproksimira. Pri tem je norma razlike manjša ali enaka $delta$. Dokažemo tudi, da je $delta$-aditivne preslikave $k$-tega reda za $k ge 2$ mogoče aproksimirati z aditivnimi preslikavami. Pri tem se optimalna ocena aproksimacije izboljša. Dokažemo nekatere lastnosti izometrij in definiramo $delta$-izometrijo za $delta > 0$. Dokažemo, da za vsako $delta$-izometrijo obstaja izometrija, za katero je norma razlike manjša od $10delta$. The thesis addresses the problem of stability of additive transformations and isometries on euclidian spaces. Cauchy's functional equation is solved in the class of continious transformations. We define $delta$-additive transformations for $delta > 0$ and prove, that for every $delta$-additive transformation there exists exactly one additive transformation, which approximates the former with norm of difference being less or equal to $delta$. If we are dealing with $delta$-additive transformation of $k$-th order for $k ge 2$ the same property holds with a better approximation constant. We prove some properties of isometries and define $delta$-isometries for $delta > 0$. We prove that every $delta$-isometry can be approximated by an isometry with the norm of difference being less than $10delta$. |
