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Especially when considering a portfolio with multiple assets the dependence structure in-between them is crucial regarding the grade of diversification and risk assessment. Models which consist of the multivariate normal distribution are popular because of their simplicity and fast calculation time. But they lag of flexible dependence structures, especially when focusing on lower tails. This has a major effect when the whole market is declining as it was during the finance crisis 2007-2009. After the crisis and the realization that the risk was way underestimated the approach using copulas for risk assessment got more into focus. Copulas give the opportunity to split the multivariate distribution into its one-dimensional marginal distribution functions and a multivariate copula. There is a wide variety of 2-dimensional copulas but the classical multivariate copulas consisting of Archimedean and elliptical ones are restricted in there flexibility as well. In this paper we use vine copulas, a method combining different bivariate copulas to a multivariate one, to simulate the price of assets within a portfolio. We address model selection, model validation via dependence parameters and the effect of different models on the resulting value at risk (VaR). Further we include and discuss models with time-dependence. Even though stocks returns are usually considered to be independent of previous returns, we will see that we do get some dependence when observing the tail dependence between shifts of a single asset. We compare the VaR of different methods and provide indications on which result the most reasonable among our selection is. We will see that this methods indeed get more accurate risk measures than traditional approaches like using the normal distribution. We will use a portfolio consisting of 7 stocks to validate the introduced theory but vine copula are by all means not just restricted to stock returns. Any combination of bivariate dependence structures can be approximated and then for example used for Monte-Carlo simulations and risk assessment. In the last section of this thesis we will introduce vine copulas in the context of collateralized debt obligations as well as in weather applications. Speziell beim Betrachten von einem Portfolio mit verschiedenen Produkten ist die Abhängigkeitsstruktur zwischen diesen entscheidend für den Grad der Diversifikation und der Risikovalidierung. Weit verbreitet sind Modelle basierend auf der mehrdimensionalen Normalverteilung da diese mit ihrer Einfachheit (im Verhältnis zu anderen Modellen) und ihrer Schnelligkeit überzeugen. Diese Modelle haben jedoch den Nachteil, dass sie eine sehr fixe Abhängigkeitsstruktur aufweisen, vor allem in Bezug auf ihre Flanken. Dieser Effekt spielt eine große Rolle, wenn ganze Märkte zusammenbrechen, wie es bei der Finanzkrise 2007-2009 der Fall war. Nach der Krise kam dann die Erkenntnis, dass diese Risiken weit unterrepräsentiert waren und der Zugang über Copulas trat in den Fokus. Copulas bieten die Möglichkeit mehrdimensionale Verteilungsfunktionen in ihre eindimensionalen Randverteilungen und eine mehrdimensionale Copula zu teilen. Es gibt einen großen Pool an zweidimensionalen Copulas, die klassischen mehrdimensionalen Copulas, wie die Archimedischen und die elliptischen, sind jedoch ebenfalls sehr eingeschränkt in ihrer Flexibilität. In dieser Arbeit verwenden wir sogenannte Vine-Copulas, welche zweidimensionale Copulas zu einer mehrdimensionalen kombinieren, um den Preis von Finanzprodukten innerhalb eines Portfolios zu simulieren. Dafür betrachten wir die Wahl des Modells, die Validierung dieser mithilfe von Abhängigkeitsparametern und diskutieren den Effekt der verschiedenen Modelle auf den simulierten Value at Risk (VaR). Aufbauend untersuchen wir die Nützlichkeit von zeitabhängigen Modellen. Obwohl Veränderungen im Aktienpreis grundsätzlich als unabhängig vom vorangegangenen Tag betrachtet werden, stellen wir eine gewisse Abhängigkeit in den Flanken fest. Die Ergebnisse der zeitabhängigen Methoden liefern tatsächlich merkliche Verbesserungen bei der Risikovalidierung. Wir begleiten die Theorie mit einem Beispielportfolio bestehen aus 7 Aktien. Dieses Beispiel wird sich durch die ganze Arbeit ziehen, es darf jedoch nicht vergessen werden, dass die vorgestellten Methoden natürlich nicht nur auf Aktienportfolios, sondern auf jede Kombination von zweidimensionalen Abhängigkeitsstrukturen angewendet werden kann. Im letzten Kapitel widmen wir uns zwei Beispielen, wo wir die vorgestellten Modelle nutzen, um mit einer Monte Carlo Methode Risiken von Collateralized Debt Obligations und Risiken im Bereich Wetter berechnen. submitted by Theo Crazzolara BSc Masterarbeit Universität Linz 2023 |
