On a class of elliptic equations with fast increasing weight
| Autor: | Vinicius Pereira Bandeira |
|---|---|
| Přispěvatelé: | Figueiredo, Giovany de Jesus Malcher |
| Rok vydání: | 2022 |
| Předmět: | |
| Zdroj: | Repositório Institucional da UnB Universidade de Brasília (UnB) instacron:UNB |
| Popis: | Tese (Doutorado em Matemática) — Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, Brasília, 2022. Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) e Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico (CNPq). Neste trabalho, estudamos a existência de soluções para uma classe de problemas envolvendo um operador de crescimento rápido com peso e diferentes tipos de não linearidade. Na primeira parte do trabalho, estudamos o problema (P) −div(K(x)∇u) = a(x)K(x)|u| q−2u + K(x)f(u) in R N , onde N ≥ 3, K(x) = exp(|x| 2 4 ), 1 < q < 2 e f é uma função contínua com crescimento arbitrário no infinito. Assumindo algumas hipóteses sobre o potencial a, fazemos um tuncramento sobre a não linearidade f de modo a nos permitir usar Teoria de Genêro no problema truncado e finalmente, usando Iteração de Moser, nós mostramos que toda solução do problema truncado é também solução do problema original. Obtendo assim uma infinidade de soluções para este problema. Na segunda parte, consideramos o sistema (S) −div(K(x)∇u) = K(x)Qu(u, v) + 1 2 ∗ K(x)Hu(u, v) in R N , −div(K(x)∇v) = K(x)Qv(u, v) + 1 2 ∗ K(x)Hv(u, v) in R N , onde N ≥ 3, K(x) = exp |x| 2/4 , Q e H são funções homogeneas de classe C 1 com H tendo crescimento crítico. Usando métodos variacionais, obtemos a existência de uma solução ground state para este sistema. Além disso, também provamos um resultado de existência para uma versão com crescimento supercrítico deste sistema. Por último, consideramos o seguinte problema com crescimento crítico e um salto de descontinuidade (Pa) −div(K(x)∇u) = K(x) λh(x) + H(u − a)|u| 2 ∗−2u in R N . onde, a e λ são parâmetros positivos, h é uma função não negativa e H é a função de Heaviside definida por H(s) := 0 if s ≤ 0, 1 if s > 0. . Obtemos para a > 0 suficientemente pequeno duas soluções não negativas ui , i = 1, 2 para esta equação. A primeira solução u1 é obtida usando uma versão do Teorema do Passo da Montanha para funcionais não diferenciáveis. A segunda solução u2 foi encontrada através de uma aplicação local do Princípio Variacional de Ekeland. Além disso, mostramos também que os conjuntos de pontos x ∈ R N tais que ui(x) > a têm medida positiva e os conjuntos de pontos x ∈ R N tais que ui(x) = a têm medida nula. In this work, we study the existence of solutions for a class of problems involving an operator with rapidly growing weights and differents types of nonlinearities. First of all we study the problem (P) −div(K(x)∇u) = a(x)K(x)|u| q−2u + K(x)f(u) in R N , where N ≥ 3, K(x) = exp(|x| 2 4 ), 1 < q < 2 and f is a continuous function with arbitrary growth at infinity. Under some assumptions on the potential a, we make a suitable truncation on the nonlinearity f in such a way that we can apply Genus Theory with the truncated problem and finally, using Moser iteration we show that each solution of truncated problem is a solution of the original problem. In the second part, we consider the system (S) −div(K(x)∇u) = K(x)Qu(u, v) + 1 2 ∗ K(x)Hu(u, v) in R N , −div(K(x)∇v) = K(x)Qv(u, v) + 1 2 ∗ K(x)Hv(u, v) in R N , where N ≥ 3, K(x) = exp |x| 2/4 , Q and H are homogeneous functions of class C 1 with H having critical growth. Using variational methods, we obtain the existence of a ground state solution for this system. Furthermore, we also proved an existing result for a supercritical growth version of this system. Finally, we consider the following problem with critical growth and a jump of discontinuity (PH) −div(K(x)∇u) = K(x) λh(x) + H(u − a)|u| 2 ∗−2u in R N . where, a e λ are positive parameters, h is a nonnegative function and H is a Heaviside function defined by H(s) := 0 if s ≤ 0, 1 if s > 0. We obtain for a > 0 sufficiently small two nonnegative solutions ui , i = 1, 2 for this equation. The first solution u1 is obtained using a version of the Mountain Pass Theorem for nonsmooth functionals. The second solution u2 was obtained through a local application of the Ekeland Variational Principle. In addition, we also show that the set of points x ∈ R N such that ui(x) > a has positive measure and the set of points x ∈ R N such that ui(x) = a has zero measure. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
|