Separatrices for germs of real analytic vector fields in dimension two

Autor: Eduardo Carlos Cabrera Zúñiga
Přispěvatelé: Rogério Santos Mol, Arturo Ulises Fernández Pérez, Bruno Scárdua, Márcio Gomes Soares, Rudy Rosas
Jazyk: portugalština
Rok vydání: 2021
Předmět:
Zdroj: Repositório Institucional da UFMG
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
instacron:UFMG
Popis: CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Essa tese é dedicada ao estudo de condições para garantir a existência de separatrizes formais em folheações definidas por um germe de campo vetorial analítico real com singularidade algebricamente isolada na origem de $\mathbb{R}^2$. Também apresentamos condições suficientes para garantir a existência de separatrizes para germes de folheações definidas por 1-formas analíticas reais em $(\mathbb{R}^3, 0)$. Em dimensão dois, uma separatriz formal ou simplesmente separatriz é um germe irredutível de curva formal invariante, enquanto em dimensão três é um germe irredutível de superfície formal invariante. Em $(\mathbb{R}^2, 0)$ estudamos o caso geral e em $(\mathbb{R}^3, 0)$ estudamos apenas o caso não-dicrítico. Em $(\mathbb{R}^2,0)$, um germe de folheação $\mathcal{F}_\mathbb{R}$ induzida por um germe de campo de vetores analítico real com singularidade algebricamente isolada na origem nem sempre admite separatriz formal. Após de um processo de redução de singularidades, cada singularidade do tipo sela-nó real obtida pode ser classificada como sela topológica, nó topológico ou sela-nó topológica. Dizemos que $\mathcal{F}_\mathbb{R}$ é do tipo curva generalizada real topológica se após um processo de redução de singularidades ela não admite singularidades do tipo sela-nó topológica. Nosso principal resultado diz que \emph{se a multiplicidade algébrica ou o número de Milnor de um germe de folheação do tipo curva generalizada real topológica em $(\mathbb{R}^2, 0)$ é par, então ele possui pelo menos uma separatriz formal.} Em $(\mathbb{R}^3,0)$, um germe de folheação $\mathcal{F}_\mathbb{R}$ induzido por um germe de 1-forma analítica real integrável de codimensão 1 é $\mathbb{C}$-não-dicrítica se sua complexificação é não-dicrítica. Uma \textit{imersão real} $ i_\mathbb{R}:(\mathbb{R}^2, 0) \hookrightarrow (\mathbb{R}^3, 0)$ é \emph{transversal} a $\mathcal{F}_\mathbb{R}$, se o conjunto singular ${\rm Sing}(i_\mathbb{R}^* \mathcal{F}_\mathbb{R})$ tem uma singularidade algebricamente isolada na origem e a multiplicidade algébrica satisfaz $\nu_0 (\mathcal{F}_\mathbb{R})=\nu_0 ( i_\mathbb{R}^* \mathcal{F}_\mathbb{R})$. Um germe de folheação $\mathcal{F}_\mathbb{R}$ é do tipo \emph{superfície generalizada real topológica} se, para toda imersão $ i_\mathbb{R}: (\mathbb{R}^2, 0) \hookrightarrow (\mathbb{R}^3, 0)$ transversal a ela, a folheação $ i_\mathbb{R} ^* \mathcal{F}_\mathbb{R}$ não possui selas-nós topológicas reais no processo de redução de singularidades. Como aplicação de nosso principal resultado em $(\mathbb{R}^2,0)$ mostramos que \emph{um germe de folheação do tipo superfície generalizada real topológica em $(\mathbb{R}^3,0)$ com multiplicidade algébrica par, ou admitindo pelo menos uma imersão transversal tal que o número de Milnor $\mu_0 ( i_\mathbb{R}^* \mathcal{F}_\mathbb{R})$ é par, tem pelo menos uma separatriz formal}. This thesis is dedicated to the study of conditions to ensure the existence of formal separatrices for a foliation defined by a germ of real analytical vector field with an algebraically isolated singularity at the origin of $\mathbb{R}^2$. We also present sufficient conditions to guarantee the existence of separatrices for germs of foliations defined by real analytical 1-forms at $(\mathbb{R}^3,0)$. At $(\mathbb{R}^2,0)$ we study the general case and at $(\mathbb{R}^3,0) $ we study only the non-dicritical case. In dimension two, a formal separatrix, or simply separatrix, is a germ of invariant irreducible formal curve, whereas in dimension three it is a germ of invariant irreducible formal surface. At $(\mathbb{R}^2,0)$, a germ of foliation $\mathcal{F}_\mathbb{R}$ induced by a germ of real analytical vector field with algebraically isolated singularity at the origin does not always admit formal separatrix. After a process of reduction of singularities, each singularity of saddle-node type obtained can be classified as topological saddle, topological node or topological saddle-node. We say that $\mathcal{F}_\mathbb{R}$ is of topological real generalized curve type if after a process of reduction of singularities it does not admit singularities of topological saddle-node type. Our main result is that \emph{if either the algebraic multiplicity or the Milnor number of a germ of a topological real generalized curve type foliation at $ (\mathbb{R}^2,0) $ is even, then it has at least one formal separatrix.} At $(\mathbb{R}^3,0)$, a germ of foliation $ \mathcal{F}_\mathbb{R}$ induced by a germ of integrable real analytical 1-form of codimension one is $\mathbb{C}$-non-dicritical if its complexification is a non-dicritical germ of holomorphic 1-form. A \emph{real immersion} $i_\mathbb{R}: (\mathbb{R}^2,0) \hookrightarrow (\mathbb{R}^3,0)$ is \emph{transversal} to $\mathcal{F}_\mathbb{R}$, if the singular set ${\rm Sing} (i_\mathbb{R}^* \mathcal{F}_\mathbb{R})$ has an algebraically isolated singularity at the origin and the algebraic multiplicity satisfies $\nu_0(\mathcal{F}_\mathbb{R}) = \nu_0 (i_\mathbb{R}^*\mathcal{F}_\mathbb{R})$. A germ of foliation $\mathcal{F}_\mathbb{R}$ is of \emph {topological real generalized surface} type if, for all immersion $i_\mathbb{R}:(\mathbb{R}^2,0) \hookrightarrow (\mathbb {R}^3,0)$ transversal to it, the foliation $i_\mathbb{R}^*\mathcal{F}_\mathbb{R}$ has no real topological saddle-nodes in the process of reduction of singularities. As an application of our main result for $(\mathbb{R}^2,0)$, we show that \emph {a germ of topological real generalized surface foliation in $(\mathbb{R}^3,0)$ having even algebraic multiplicity, or such that there is at least one transverse immersion for which the Milnor number $\mu_0(i_\mathbb{R}^*\mathcal{F}_\mathbb{R})$ is even, has at least one formal separatrix}.
Databáze: OpenAIRE
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