Aplicação de um método adaptativo temporal de funções de base radial à solução da equação de Black-Scholes

Autor: Gisele Tessari Santos
Přispěvatelé: Mauricio Cardoso de Souza, Mauri Fortes, Wanyr Ferreira
Jazyk: portugalština
Rok vydání: 2008
Předmět:
Zdroj: Repositório Institucional da UFMG
Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG)
instacron:UFMG
Popis: Muitos problemas de engenharia financeira envolvem equações não-lineares com condições de contorno não-lineares ou dependentes do tempo. Apesar de soluções analíticas disponíveis, várias formas clássicas e modificadas da conhecida equação de Black-Scholes (BS) requerem soluções numéricas rápidas e acuradas. Este trabalho introduz o método de função de base radial (FBR) aplicado à solução da equação BS com condições de contorno não- lineares relacionadas a opções de barreira dependentes da trajetória. Explora-se, também, o método difusional para solucionar equações advectivo-difusivas quanto à sua efetividade para solucionar equações BS. Utilizam-se e comparam-se, em todo o trabalho, a efetividade de funções de base radial Cúbica e Thin-Plate Spline (TPS), quando aplicadas à solução de problemas de opções de barreiras. Os resultados numéricos, quando comparados com as soluções analíticas, permitem afirmar que o método FBR é muito preciso e fácil de programar. Ao se aplicar o método FBR, o método difusional leva aos mesmos resultados que aqueles obtidos pelo uso da formulação clássica da equação de Black-Scholes. Adicionalmente, implementa-se um esquema adaptativo no tempo tendo por base algoritmos preditivos e corretivos disponíveis, associados ao método adaptativo no tempo para equações diferenciais ordinárias de Bixler (1989). Os métodos adaptativos no tempo mostraram-se eficientes quer em termos de rapidez (número de iterações necessárias para atingir o tempo final requerido de simulação) quanto em termos de acurácia ou exatidão. Na realidade, o uso de adaptatividade associada aos erros de truncamento numérico da ordem de 10-7, no caso de opções de compra, e de 10-5 e 10-4 para opções de barreira levou a excelentes resultados. O trabalho mostra uma série de curvas que refletem a dependência do erro numérico relativo de predição em função do método de integração, passo inicial de tempo, tamanho das malhas de preços de ativos, erro de truncamento especificado e valor máximo dos ativos que permite simular condições de contorno equivalente a S = . No caso de opções de compra, o método baseado na FBR Cúbica adaptativa mostrou-se mais eficiente que o baseado na FBR TPS adaptativa; enquanto no caso de opções de barreiras, ambos os métodos levaram a, essencialmente, resultados equivalentes. A técnica adaptativa no tempo aplicada à solução da equação de Black-Scholes permite economias consideráveis de tempo de execução; de fato, o número de iterações temporais requerido para atingir o tempo final de simulação desejado, sob uma dada acurácia, pode ser 500 vezes menor que quando não se usa adaptatividade; a economia depende do tipo do problema. A large number of financial engineering problems involve non-linear equations with non-linear or time-dependent boundary conditions. Despite available analytical solutions, many classical and modified forms of the well-known Black-Scholes (BS) equation require fast and accurate numerical solutions. This work introduces the radial basis function (RBF) method as applied to the solution of the BS equation with non-linear boundary conditions, related to path-dependent barrier options. Furthermore, the diffusional method for solving advective-diffusive equations is explored as to its effectiveness to solve BS equations. Cubic and Thin-Plate Spline (TPS) radial basis functions were employed and compared one against the other as to their effectiveness to solve barrier option problems. The numerical results, when compared against analytical solutions, allow affirming that the RBF method is very accurate and easy to be implemented. When the RBF method is applied, the diffusional method leads to the same results as those obtained from the classical formulation of Black-Scholes equation. Furthermore, a time adaptive scheme was implemented, based on available predictive and corrective algorithms associated with Bixlers (1989) time adaptive ordinary differential equation solver. The time adaptive methodology showed itself to be highly efficient, when efficiency is defined both in terms of computing speed (number of time steps required to reach solutions at a desired simulation time) and in terms of accuracy or precision. Actually, the use of adaptiveness associated to numerical truncation errors of the order of 10-7, in the case of call options, and 10-5 to 10-4 when barrier options were considered, led to excellent results. This work shows a series of graphs reflecting the dependence of the numerical error with the integration method, initial time step, underlying asset value, specified truncation error and maximum stock value for implementing boundary conditions. In the case of call option simulations, the Cubic RBF method was more efficient than the TPS one, while in the case of barrier options, both methods led to essentially equivalent results. The time adaptive technique applied to the solution of Black-Scholes equation allows considerable computer processing efficiency; indeed, the number of time steps required to reach a final desired simulation time, under a given required accuracy, can be 500 times smaller than when no adaptiveness is used; the economy is problem dependent.
Databáze: OpenAIRE
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