Involutions fixing connected sums of projective spaces and improvements to the Five Halves Theorem when Fix(T ) = F n ∪ F j

Autor: Moura, Larissa
Přispěvatelé: Pergher, Pedro Luiz Queiroz
Jazyk: portugalština
Rok vydání: 2022
Předmět:
Zdroj: Repositório Institucional da UFSCAR
Universidade Federal de São Carlos (UFSCAR)
instacron:UFSCAR
Popis: Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) Let M m be a closed and smooth m-dimensional manifold, and T : M m → M m a smooth involution, that is, a period 2 diffeomorphism defined on M m . It is well known the fact that the fixed point set of T , F = {x ∈ M m |T (x) = x}, is a finite and disjoint union of closed smooth submanifolds, whose dimensions can vary from 0 to m. We write F = ∪ni=0 F i , n ≤ m, where F i denotes the disjoint union of the i-dimensional components of F. The famous Five Halves Theorem of J. Boardman assures that, if the pair (M m , T ) does not bound equivariantly, then we have m ≤ 52 n, and with this level of generality, this bound is best possible. This result motivated P. Pergher to introduce, in the literature, the following type of question: is it possible to improve the Boardman’s bound by imposing the omission of some dimensions of F? In this work, our first objective is obtaining a result of this type, specifically the case where F has the form F n ∪ F j , 0 ≤ j < n, and with F n ∪ F j not being a boundary. There are several results of this nature in the literature, as will be detailed in the Introduction in historical and chronological terms. The second goal of this work lives in the context of classifying, up to equivariant cobordism, involutions (M, T ) whose fixed point set is a pre-selected manifold (or a disjoint union of manifolds) F. This line of problems is well-established in the literature, see in the Introduction references with several correlated results. Specifically, in this work we will address the case in which F is a connected sum of two projectives spaces real, complex and quaternionic, F = Kd P(n)#Kd P(n), with n odd, where d = 1, 2 and respectively symbolize the real, complex and quaternionic cases. Again, the relationship of this case with existing cases in the literature will be described in the Introduction. Sejam M m uma variedade suave, fechada e m-dimensional, e T : M m → M m uma involução suave. É conhecido o fato de que o conjunto de pontos fixos de T , , F = {x ∈ M m |T (x) = x}, é uma união disjunta e finita de subvariedades fechadas de diferentes dimensões. Escrevemos F = ∪ni=0 F i , n ≤ m, onde F i denota a união das componentes i-dimensionais de F. O famoso Five Halves Theorem of J. Boardman diz que, se o par (M m , T ) não borda equivariantemente, então temos que m ≤ 25 n, e com essa generalidade esse resultado é o melhor possível. Esse resultado motivou P. Pergher a introduzir, na literatura, a seguinte questão: é possível melhorar o limitante de Boardman se impomos a omissão de algumas dimensões no conjunto de pontos fixos? O primeiro objetivo desse trabalho é obter um resultado desse tipo, achando um limite superior para m no caso em que F tenha a forma F n ∪ F j , 0 ≤ j < n e com F n ∪ F j não bordando. Existem vários resultados prévios na literatura desta natureza, conforme será detalhado na Introdução em termos históricos e cronológicos. O segundo objetivo desse trabalho mora no contexto de se classificar classes de cobordismo equi- variante de involuções (M, T ) que possuem um conjunto de pontos fixos pré-fixado F. Essa é uma linha de problemas bem consolidada na literatura, vide na Introdução referências a diversos resultados correlatos. Nesse trabalho, abordaremos o caso em que F é a soma conexa de dois espaços projetivos reais, complexos e quaterniônicos, F = Kd P(n)#Kd P(n), com n ímpar, onde d = 1, 2 e 4 simbolizam os casos reais, complexos e quaterniônicos, respectivamente. Novamente, a relação deste caso com os casos já existentes na literatura será descrita na Introdução.
Databáze: OpenAIRE
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