Comportamento assintótico de soluções de alguns problemas elípticos em espaços de Orlicz-Sobolev
| Autor: | Viviane Mendes Magalhães |
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| Přispěvatelé: | Grey Ercole, Gilberto de Assis Pereira, Olimpio Hiroshi Miyagaki, Luiz Fernando de Oliveira Faria, Ronaldo Brasileiro Assunção, Hamilton Prado Bueno |
| Jazyk: | portugalština |
| Rok vydání: | 2021 |
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| Zdroj: | Repositório Institucional da UFMG Universidade Federal de Minas Gerais (UFMG) instacron:UFMG |
| Popis: | CAPES - Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior Seja Ω um domínio limitado e suave de RN e, para cada n ∈ N, seja Φn uma N-função da forma Φ n(t) = Z0t sφn(s) ds em que φn : R → R é uma função par satisfazendo propriedades adicionais. Na primeira parte deste trabalho estudamos o comportamento assintótico, quando n → ∞, de un ∈ W01,Φn(Ω), solução de um problema singular da forma 8>><>>: −∆Φnu = Λn f(x) uα em Ω, u > 0 em Ω, u = 0 sobre ∂Ω, (1) em que 0 ≤ α ≤ 1, f é uma função não negativa, não trivial em L1(Ω), e Λn é uma constante positiva. No Capítulo 1, mostramos que o problema singular (1) tem uma única solução fraca un ∈ W 1,Φn 0 (Ω) no caso em que Λn = 1 e 0 ≤ α ≤ 1. No Capítulo 2, exploramos o fato de que un é o minimizador global do funcional energia Jn (u) := ZΩ Φn(|∇u|) dx − ZΩ f (uun)α dx, un ∈ W01,Φn(Ω), para provar que lim n→∞ un = d uniformemente em Ω, em que d denota a função distância até a fonteira ∂Ω. No Capítulo 3, provamos que, para 0 ≤ α < 1, o funcional modular t 7→ ZΩ Φn(|∇u|) dx, sob a restrição ZΩ f|u|1−α dx = 1, admite um minimizador positivo un ∈ W01,Φn(Ω) que é solução fraca de (1) com Λn = ZΩ φn(|∇un|)|∇un|2 dx. Além disso, provamos que lim n→∞ un = ε−1d uniformemente em Ω, em que ε = ZΩ fd1−α dx, e também que lim n→∞ (Λn)n1 = lim n→∞ ZΩ Φn(|∇un|) dx 1n = γ1(ε), em que a função γ1 : [0, ∞) → [0, ∞) é deinida por γ1(t) := lim n→∞ (φ0n(t)) 1n , se t > 0, e γ1(0) = 0. Para provar esses resultados de convergência mostramos que: γ1 é contínua, estritamente crescente e sobrejetiva; as sequências (Λn)n1 e ZΩ Φn(|∇un|) dx 1n convergem para o mesmo número positivo Λ∞; e un converge uniformemente para uma função u∞ ∈ C0(Ω) ∩ W1,∞(Ω) que é solução de viscosidade da equação min{−∆∞u, γ1(|∇u|) − Λ∞} = 0. Então, concluímos que Λ∞ = γ1(ε) e u∞ = ε−1d. Na segunda parte deste trabalho, desenvolvida no Capítulo 4, estudamos o comportamento assintótico dos minimizadores do quociente do tipo Rayleigh k∇ kvvkkΨΦjl , em que (Φl) e (Ψj) são sequências de N-funções. Provamos que, a menos de subsequências, o minimizador de k∇·k k·kΨΦjl converge, quando j → ∞, para o minimizador de k∇·k k·k∞Φl , o qual, por sua vez, converge, quando l → ∞, para o minimizador w∞ do quociente tipo Rayleigh k∇·k k·k∞∞ . Além disso, mostramos que w∞ é a solução de viscosidade Let Ω be a bounded, smooth domain of R N and, for each n ∈ N, let Φn be an Nfunction of the form Φn(t) = Z t 0 sφn(s) ds where φn : R → R is an even function satisfying additional properties. In the first part of this work we study the asymptotic behavior, as n → ∞, of un ∈ W 1,Φn 0 (Ω), solution of a singular problem −∆Φn u = Λn f(x) u α in Ω, u > 0 in Ω, u = 0 on ∂Ω, (2) where 0 ≤ α ≤ 1, f is a nonnegative, nontrivial function in L 1 (Ω) and Λn is a positive constant. In Chapter 1, we prove that, if Λn = 1, then problem (2) has a unique weak solution un ∈ W 1,Φn 0 (Ω), for any 0 ≤ α ≤ 1. In Chapter 2 we show that un is the global minimizer of the energy functional Jn(u) := Z Ω Φn(|∇u|) dx − Z Ω f u (un) α dx, un ∈ W 1,Φn 0 (Ω), and exploit this fact to prove that limn→∞ un = d uniformly in Ω, where d denotes the distance function to the boundary ∂Ω. In Chapter 3 we consider the modular functional t 7→ Z Ω Φn(|∇u|) dx, under the constraint Z Ω f|u| 1−α dx = 1. In the case 0 ≤ α < 1, we prove that it admits a positive minimizer un ∈ W 1,Φn 0 (Ω) which solves (2) with Λn = Z Ω φn(|∇un|)|∇un| 2 dx. Moreover, we prove that limn→∞ un = ε −1d, uniformly in Ω, where ε = R Ω f d1−α dx. Furthermore, we also show that limn→∞ (Λn) 1 n = limn→∞ Z Ω Φn(|∇un|) dx 1 n = γ1(ε), where the function γ1 : [0, ∞) → [0,∞) is defined by γ1(t) := limn→∞ (φ 0 n (t)) 1 n , if t > 0, and γ1(0) = 0. v In order to prove these convergences, we show that γ1 is continuous, strictly increasing and onto. We also consider the sequences (Λn) 1 n and Z Ω Φn(|∇un|) dx 1 n and prove that they both converge to a positive number Λ∞. Considering the sequence of solutions un, we prove that it converges uniformly to a function u∞ ∈ C0(Ω) ∩ W1,∞(Ω), which solves the equation min{−∆∞u, γ1(|∇u|) − Λ∞} = 0 in the viscosity sense. We conclude that Λ∞ = γ1(ε) and u∞ = ε −1d. In the second part of this work, exposed in Chapter 4, we study the asymptotic behavior of the minimizers of the Rayleigh-type quotient k∇vkΦl kvkΨj , where (Φl) and (Ψj ) are sequences of N-functions. We prove that, up to subsequences, the minimizer of k∇·kΦl k·kΨj converges, as j → ∞, to the minimizer of the quotient k∇·kΦl k·k∞ . On its turn, this quotient converges, as l → ∞, to the minimizer w∞ of the Rayleigh-type quotient k∇·k∞ k·k∞ . We show that w∞ is the viscosity solution of ∆∞ u k∇uk∞ = 0 em D := Ω \ {x?}, u kuk∞ = d sobre ∂D = Ω ∪ {x?}, where x? ∈ Ω satisfies w∞(x?) = kw∞k∞ = 1 and d(x?) = kdk∞. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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