On the maximum principle and the Ricci flow
| Autor: | Miranda, Lucas Lavoyer de |
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| Přispěvatelé: | Tenenblat, Keti |
| Rok vydání: | 2020 |
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| Zdroj: | Repositório Institucional da UnB Universidade de Brasília (UnB) instacron:UNB |
| Popis: | Dissertação (mestrado)—Universidade de Brasília, Instituto de Ciências Exatas, Departamento de Matemática, 2020. Nesta dissertação, será apresentado um estudo sobre o princípio do máximo para escalares e fibrados vetoriais sobre variedades compactas e algumas aplicações sobre o fluxo de Ricci, tendo como objetivo final demonstrar importantes resultados obtidos em 1982 por Richard Hamilton. Iremos introduzir o fluxo de Ricci, calcular as equações de evolução de importantes objetos geométricos, demonstrar a existência e unicidade local do fluxo e procurar compreender os obstáculos para existência para todo tempo. Por fim, comentaremos o principal resultado do artigo de Richard Hamilton, que afirma que toda variedade Riemanniana de dimensão 3 compacta e sem bordo com curvatura de Ricci estritamente positiva admite uma métrica com curvatura seccional positiva constante e, portanto, é difeomorfa à esfera tridimensional (caso seja simplesmente conexa) ou ao quociente da esfera por algum grupo finito de isometrias agindo livremente na variedade. Os resultados apresentados apareceram em artigos publicados e esta dissertação é majoritariamente baseada nos artigos de 1982 e de 1984 de Richard Hamilton, nas notas sobre o fluxo de Ricci de Petter Topping e no livro de Bennet Chow e Dan Knopf sobre o fluxo de Ricci, assim como seus volumes subsequentes. In this dissertation, we will provide a study of the maximum principle both for scalars and for vector bundles on compact manifolds, as well as an introduction to the Ricci flow, with the goal of proving some important results due to Richard Hamilton, obtained in 1982 in his first paper on the Ricci flow. We shall introduce the Ricci flow, compute several evolution equations for some important geometric entities, prove short time existence and uniqueness of the Ricci flow and try to understand what are the obstacles for long time existence. Finally, we comment on Hamilton’s main result from his seminal 1982 paper, that says that every three-dimensional closed Riemannian manifold with strictly positive Ricci curvature admits a metric with constant positive sectional curvature and, therefore, is diffeomorphic to the three dimensional sphere (if it’s simply connected) or a quotient of the sphere by a finite group of isometries acting freely on it. All these results appeared in published papers and this dissertation is mainly based on Hamilton’s 1982 and 1984 papers, Peter Topping’s lecture notes on the Ricci flow and Bennet Chow’s and Dan Knopf’s book on the Ricci flow and its sequels. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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