Solutions Characterizition of Boundary Value Problems for the Model Fokker−Plank−Kolmogorov Equation of Normal Markovian Process
| Autor: | Ivasyshen, S. D., Turchyna, N. I. |
|---|---|
| Jazyk: | ukrajinština |
| Rok vydání: | 2015 |
| Předmět: |
Fokker–Plank–Kolmogorov equation of normal markovian process
Dirichlet and Neumann problems Характеризация решений Solutions characterizition Уравнение Фоккера−Планка−Колмогорова нормального марковского процесса Корректная разрешимость Функція Гріна Весовые Lp-пространства Вагові Lp-простори Коректна розв’язність Green's function 517.956.4 Correct solvability Характеризація розв’язків Weight Lp-spaces Рівняння Фоккера−Планка−Колмогорова нормального марковського процесу Оператор Пуассона Интегральное изображение Integral representation Функция Грина Poisson operator Задачі Діріхле та Неймана Задачи Дирихле и Неймана Інтегральне зображення |
| Zdroj: | Наукові вісті НТУУ «КПІ»: науково-технічний журнал |
| Popis: | Проблематика. Відомий підхід Е-І С.Д. Ейдельмана та С.Д. Івасишена дав змогу для параболічних рівнянь з обмеженими коефіцієнтами повністю охарактеризувати широкі класи розв’язків, зокрема описати їх множини початкових значень, одержати інтегральне зображення та з’ясувати, в якому сенсі задовольняються початкові умови; якщо коефіцієнти рівнянь як функції х можуть необмежено зростати на нескінченності, то таких результатів майже немає. Мета дослідження. Мета роботи – для однорідного модельного рівняння Фоккера−Планка−Колмогорова нормального марковського процесу, що містить зростаючі коефіцієнти, розглянути задачі Діріхле та Неймана у півпросторі, в яких крайові умови однорідні, а початкові дані належать до спеціальних вагових просторів Φᵃp функцій чи узагальнених мір, а також реалізувати підхід Е-І для розв’язків таких задач. Методика реалізації. Модифікація методики, використаної для рівнянь з обмеженими коефіцієнтами, яка ґрунтується на детальному вивченні властивостей операторів Пуассона, породжених функціями Гріна відповідних задач. Результати дослідження. Установлено коректну розв’язність та інтегральне зображення за допомогою операторів Пуассона розв’язків таких задач у сімействах вагових Lp-просторів функцій, які при |x| → ∞ мають експоненціальний ріст максимального порядку 2 із залежним від t типом. При цьому з’ясовується, в якому сенсі задовольняються початкові умови, а також характеризуються розглянуті класи розв’язків як множини значень операторів Пуассона, областями визначення яких є простори Φᵃp. Висновки. Результати статті показують, у чому і як проявляється наявність у рівнянні членів зі зростаючими коефіцієнтами; вони дають змогу для загальніших крайових задач спрогнозувати подібні результати та намітити способи їх одержання. Background. The known Е-І approach by S.D. Eidelman and S.D. Ivasyshen allowed to characterize wide classes of solutions for parabolic equations with limited coefficients, in particular, to describe their ranges of initial values, to get the integral representation and to find out in what sense the initial conditions are met; if the coefficients of equations, as functions of x, can grow without limit at infinity, then these results do not almost exist. Objective. The purpose is to consider Dirichlet and Neumann problems in the half-space, in which the boundary conditions are homogeneous, as initial values belong to a special weighted Φᵃp paces of functions or generalized measures for a homogeneous model Fokker-Planck-Kolmogorov equation of normal markovian process, that contains growing coefficients and to implement Е-І approach for such problems solutions. Methods. The method modification, which was used for equations with limited coefficients, based on a detailed studying of the Poisson operators properties, generated by Green's functions of corresponding problems. Results. The correct solvability and the integral representation are established by using Poisson operators of the solutions of such problems. Boundary value problems are investigated in the families of weight Lp-spaces of functions increasing exponentially as |x| → ∞. These functions have the maximum exponent of growth 2 and the type depend on t. It was also clarified in what sense the solutions satisfy those initial conditions. Considered classes of solutions are characterized as the range of the Poisson operators defined on the spaces Φᵃp. Conclusions. The article results show, how the presence in the equation of members with growing coefficients is manifested. They allow predicting similar results for more general boundary value problems and identify ways to obtain them. Проблематика. Известный подход Е-І С.Д. Эйдельмана и С.Д. Ивасишена позволил для параболических уравнений с ограниченными коэффициентами полностью охарактеризовать широкие классы решений, в частности описать их множества начальных значений, получить интегральное изображения и выяснить, в каком смысле удовлетворяются начальные условия; если коэффициенты уравнений как функции x могут неограниченно расти на бесконечности, то таких результатов почти нет. Цель исследования. Цель работы − для однородного модельного уравнения Фоккера−Планка−Колмогорова нормального марковского процесса, которое содержит растущие коэффициенты, рассмотреть задачи Дирихле и Неймана в полупространстве, в которых краевые условия однородны, а исходные данные относятся к специальным весовым пространствам Φᵃp функций или обобщенных мер, а также реализовать подход Е-І для решения таких задач. Методика реализации. Модификация методики, использованной для уравнений с ограниченными коэффициентами, которая основывается на детальном изучении свойств операторов Пуассона, порожденных функциями Грина соответствующих задач. Результаты исследования. Установлены корректная разрешимость и интегральное изображение с помощью операторов Пуассона решений таких задач в семействах весовых Lp-пространств функций, которые при |x| → ∞ имеют экспоненциальный рост максимального порядка 2 с зависимым от t типом. При этом выясняется, в каком смысле удовлетворяются начальные условия, а также характеризуются рассмотренные классы решений как множества значений операторов Пуассона, областями определения которых являются пространства Φᵃp. Выводы. Результаты статьи показывают, в чем и как проявляется наличие в уравнении членов с растущими коэффициентами; они позволяют для более общих краевых задач спрогнозировать подобные результаты и наметить способы их получения. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
|