INÉGALITÉS FONCTIONNELLES À POIDS ET DIFFUSIONS NON-LINÉAIRES DE TYPE MILIEUX POREUX

Autor: Muratori, Matteo
Přispěvatelé: Dipartimento di Matematica Felice Casorati, Università degli Studi di Pavia, Politecnico di Milano, Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, Gabriele Grillo, Bruno Nazaret
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2015
Předmět:
Zdroj: Analysis of PDEs [math.AP]. Politecnico di Milano; Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne, 2015. English
Popis: The main topic of this thesis is the study of the asymptotic behaviour of solutions to certain nonlinear diffusion equations, whose most important models are the porous medium equation and the fast diffusion equation. In the first chapter we analyse in detail the connections between Lp smoothing and decay properties of weighted versions of the porous medium equation and the validity of suitable functional inequalities involving the weights. In the second chapter we investigate the asymptotics of the solutions to the fractional porous medium equation with power-type weights: this is strictly linked with a similar fractional parabolic problem having as initial datum a positive finite measure, which we study separately. The third chapter is mostly devoted to the characterization of the optimal functions for a family of Caffarelli-Kohn-Nirenberg interpolation inequalities: it turns out that if the power of the weight that appears in the Lp norms is small enough, then such optimal functions are radial. As a consequence, solutions to the Euclidean fast diffusion equation with the same power weight converge towards special solutions of Barenblatt type with an optimal rate, at least for m larger than a suitable critical value. In the fourth and last chapter we consider the fast diffusion equation on hyperbolic space: the most important result we obtain, for m close to one, is the convergence of radial solutions, as t tends to the extinction time, to a separable solution in the uniform norm of the relative error.; Le sujet principal de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique des solutions de certaines équations de diffusion non-linéaires, dont les prototypes les plus importants sont l'équation des milieux poreux et l'équation de diffusion rapide. Dans le premier chapitre, on analyse en détail les connexions entre des estimations de régularité et de décroissance Lp pour des versions à poids de l'équation des milieux poreux et la validité de certaines inégalités fonctionnelles liées aux poids. Dans le deuxième chapitre on s'occupe du comportement asymptotique des solutions de l'équation des milieux poreux fractionnaire avec un poids de type puissance: cela est strictement lié à un problème fractionnaire similaire avec donnée initiale mesure, ce qui est étudié séparément. Le troisième chapitre est principalement dédié à la caractérisation des fonctions optimales pour une famille d'inégalités d'interpolation de Caffarelli-Kohn-Nirenberg : il s'avère que, si la puissance du poids qui apparaît dans les normes Lp est suffisamment petite, ces fonctions optimales sont radiales. Comme conséquence directe, les solutions de l'équation de diffusion rapide Euclidienne avec poids la même puissance convergent vers des solutions spéciales de type Barenblatt avec un taux optimal, au moins pour m plus grand d'une certaine valeur critique. Dans le quatrième et dernier chapitre, on considère l'équation de diffusion rapide sur l'espace hyperbolique : le résultat le plus important qu'on obtient, pour m proche de 1, c'est la convergence des solutions radiales, lorsque t tend au temps d'extinction, à une solution à variables séparées dans la norme uniforme de l'erreur relative.
Databáze: OpenAIRE
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