Mesures invariantes en dynamique symbolique : une approche topologique, combinatoire et géométrique

Autor: Cecchi Bernales, Paulina Alejandra
Přispěvatelé: Institut de Recherche en Informatique Fondamentale (IRIF (UMR_8243)), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université de Paris (UP), Université Sorbonne Paris Cité, Universidad de Chile, Valérie Berthé, María Isabel Cortez
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2019
Předmět:
Zdroj: Combinatorics [math.CO]. Université Sorbonne Paris Cité; Universidad de Chile, 2019. English. ⟨NNT : 2019USPCC039⟩
Popis: In this work we study some dynamical properties of symbolic dynamical systems, with particular emphasis on the role played by the invariant probability measures of such systems. We approach the study of the set of invariant measures from a topological, combinatorial and geometrical point of view. From a topological point of view, we focus on the problem of orbit equivalence and strong orbit equivalence between dynamical systems given by minimal actions of Z, through the study of an algebraic invariant, namely the dynamical dimension group. Our work presents a description of the dynamical dimension group for two particular classes of subshifts: S-adic subshifts and dendric subshifts. From a combinatorial point of view, we are interested in the problem of balance in minimal uniquely ergodic systems given by actions of Z. We investigate the behavior regarding balance for substitutive, S-adic and dendric subshifts. We give necessary conditions for a minimal substitutive system with rational frequencies to be balanced on its factors, obtaining as a corollary the unbalance in the factors of length at least 2 in the subshift generated by the Thue-Morse sequence. Finally, from the geometrical point of view, we investigate the problem of realization of Choquet simplices as sets of invariant probability measures associated to systems given by minimal actions of amenable groups on the Cantor set. We introduce the notion of congruent monotileable amenable group, we prove that every virtually nilpotent amenable group is congruent monotileable, and we show that for a discrete infinite group G with this property, every Choquet simplex can be obtained as the set of invariant measures of a minimal G-subshift.; En este trabajo estudiamos algunas propiedades dinamicas de sistemas simbolicos, con especial enfasis en el rol que juegan las medidas de probabilidad invariantes de tales sistemas. Nuestra aproximacion al estudio de las medidas invariantes se realiza desde tres angulos: topologico, combinatorio y geometrico. Desde el punto de vista topologico, nos enfocamos en el problema de la equivalencia orbital y equivalencia orbital fuerte entre sistemas dinamicos dados por acciones minimales de Z, a traves del estudio de un invariante algebraico, a saber, el grupo de dimension dinamico. Nuestro trabajo presenta una descripcion del grupo de dimension dinamico para dos clases particulares de subshifts minimales: los subshifts S-adicos y los subshifts dendricos. Desde el punto de vista combinatorio, nos interesamos en el problema del equilibrio en subshifts minimales y unicamente ergodicos dados por acciones de Z. Investigamos el comportamiento en relacional equilibrio para subshifts substitutivos, S-adicos y dendricos. Establecemos condiciones necesarias para que un subshift substitutivo minimal con frecuencias racionales sea equilibrado en sus factores, obteniendo como corolario el desequilibrio en los factores de largo mayor o igual a 2 en el subshift generado por la substitucion de Thue–Morse. Finalmente, desde el punto de vista geometrico, investigamos la posibilidad de realizar sımplices de Choquet como conjuntos de medidas de probabilidad invariantes asociados a sistemas dados por acciones minimales de grupos promediables sobre el Cantor. Introducimos la nocion de grupo promediable congruente-monoembaldosable, probamos que todo grupo promediable virtualmente nilpotentees congruente-monoembaldosable, y mostramos que para un grupo discreto e infinito G con estapropiedad, todo sımplice de Choquet puede obtenerse como el conjunto de medidas invariantes de un G-subshift minimal.; Dans ce travail nous étudions quelques propriétés des systèmes symboliques, avec un accent particulier mis sur le rôle joué par les mesures invariantes de tels systèmes. Nous nous attachons à l'étude des mesures invariantes d'un point de vue topologique, combinatoire et géométrique. Du point de vue topologique, nous nous concentrons sur le problème de l'équivalence orbitale et l'équivalence orbitale forte entre des systèmes dynamiques donnés par des actions minimales de Z, par l'étude d'un invariant algébrique, à savoir, le groupe de dimension dynamique. Notre travail donne une description du groupe de dimension dynamique pour deux classes particulières de sous-shifts : les sous-shifts S-adiques et les sous-shifts dendriques. Du point de vue combinatoire, nous nous intéressons au problème de l'équilibre des sous-shifts minimaux et uniquement ergodiques donnés par des actions de Z. Nous étudions le comportement concernant l'équilibre pour des sous-shifts substitutifs, S-adiques et dendriques. Nous établissons des conditions nécessaires pour qu'un sous-shift substitutif minimal avec des fréquences rationnelles soit équilibré par rapport à ses facteurs, en obtenant comme corollaire le déséquilibre des facteurs de longueur supérieure à 2 dans le sous-shift engendré par la substitution de Thue-Morse. Enfin, du point de vue géométrique, nous étudions le problème de réalisation des simplexes de Choquet comme des ensembles de mesures de probabilité invariantes associés à des systèmes donnés par des actions minimales des groupes moyennables sur l'ensemble de Cantor. Nous introduisons la notion de groupe moyennable congruent-monopavable, nous montrons que tout groupe moyennable virtuellement nilpotent est congruent-monopavable, et que pour un group discret infini G avec cette propriété, tout simplexe de Choquet peut s'obtenir comme l'ensemble des mesures invariantes d'un G-sous-shift minimal.
Databáze: OpenAIRE
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