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Hurwitz showed that a branched cover f:M→N of surfaces with branch locus P⊂N determines and is determined, up to inner automorphism of the symmetric group S_m, by a homomorphism π_1(NP, ∗) → S_m . This result reduces the questions of existence and uniqueness of branched covers to combinatorial problems. For a suitable set of generators for π_1(NP, ∗), a representation π_1(NP, ∗) → S_m determines and is determined by a sequence (a_1 , b_1 , . . . , a_g , b_g , z_1, . . . , z_k ) of elements of S_m satisfying [a_1, b_1 ] · · · [a_g , b_g ]z_1 · · · z_k = 1. Thesequence (a_1 , b_1 , . . . , a_g , b_g , z_1 , . . . , z_k ) of permutations is called a Hurwitz system for f .Therefore, to understand the classes of branched covers one need to study the orbits of Hurwitz systems by suitable actions on S^n_m, n = 2g+k. One of such actions is the simultaneous conjugation that leads to the study of the set of double cosets of symmetric groups.In Chapter 1 we bring an exposition of the recent work of Neretin on the multiplicative structure on the set S_∞S^n_∞/S_∞ .In Chapter 2 we aim at extending Neretin’s results to the group B_∞ of finitely supported braids on infinitely many strands. We prove that B_∞B^n_∞/B_∞ admits such a multiplicative structure and explain how this structure is related to similar constructions in Aut(F_∞ ) and GL(∞). We also define a one-parameter generalization of the usual monoid structure on the set of double cosets of GL(∞) and show that the Burau representation provides a functor between the categories of double cosets of B_∞ and GL(∞).The last chapter is dedicated to the study of homomorphisms π_1(NP, ∗) → G, G a discrete group. We give an exposition of the stable classification of such homomorphisms following the work of Samperton and some new results concerning the number of stabilizations necessary to make them equivalent with respect to Hurwitz moves. We also explore a generalization of the classification of finite branched covers by introducing the braid monodromy for surfaces embedded in codimension 2. Following ideas of Kamada we defined a braid monodromy associated to braided surfaces, which correspond to G = B_∞ and study the spherical functions associated to braid group representations.; Hurwitz a montre qu’un revêtement ramifié f:M→N de surfaces avec lieu de ramification P⊂N détermine et est déterminé, à un automorphisme intérieur près du groupe symétrique S_m , par un homomorphisme π_1(NP, ∗) → S_m . Ce résultat réduit les questions d’existence et d’unicité à un problème combinatoire. Pour un ensemble de générateurs convenable de π_1(NP, ∗), une représentation π_1(NP, ∗) → S_m détermine et est déterminée par une suite (a_1 , b_1 , . . . , a_g , b_g , z_1, . . . , z_k ) d’éléments de S_m satisfaisant [a_1 , b_1 ] · · · [a_g , b_g ]z_1 · · · z_k = 1. La suite (a_1, b_1 , . . . , a_g , b_g , z_1 , . . . , z_k) de permutations est appelé un système de Hurwitz pour f. Par conséquent, pour comprendre les classes de revêtements ramifiés, on doit étudier les orbites des systèmes de Hurwitz par des actions sur S_m. Une de ces actions est la conjugaison simultanée qui conduit à l’étude de l’ensemble des classes doubles des groupes symétriques. Dans le premier chapitre, nous présentons les travaux récents de Neretin sur la structure multiplicative sur l’ensemble S_∞S^n_∞ /S_∞ . Dans le deuxième chapitre, nous visons étendre les résultats de Neretin au groupe B_∞ des tresses à support fini avec un nombre infini de brins. Nous montrons que B_∞ B^n_∞/B_∞ admet une telle structure multiplicative et expliquons comment cette structure est liée à des constructions similaires dans Aut(F_∞) et GL(∞). Nous définissons également une généralisation à un paramètre de la structure habituelle de monoïde sur l'ensemble des classes doubles de GL(∞) et montrons que la représentation de Burau fournit un foncteur entre les catégories des classes doubles de B_∞ et de GL(∞). Le dernier chapitre est consacré à l'étude des homomorphismes π_1(NP, ∗) → G, où G est un groupe discret. Nous exposons la classification stable de tels homomorphismes selon Samperton et de nouveaux résultats concernant le nombre de stabilisations nécessaires pour les rendre équivalents par rapport aux mouvements de Hurwitz. Nous explorons ensuite une généralisation de la classification des revêtements ramifiés finis en introduisant la monodromie des tresses associée à des surfaces plongées en codimension 2. Suivant des idées de Kamada, nous définissons la monodromie des tresses associée à des surfaces tressées correspondant à G = B_∞ et nous étudions les fonctions sphériques associées aux représentations des groupes des tresses. |
