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Based on Onsager's variational principle, the motion of superparamagnetic nanoparticles – which are suspended in an incompressible carrier fluid and subjected to an external magnetic field – is described by systems of partial differential quations. Various modeling assumptions lead to three different systems denoted by "model GW", "model W" and "model B". When proposed in our joint work (2019), "model GW" was – to the best of our knowledge – the first one to include evolution equations for the magnetization field and for the magnetic particle density – all of them are nonlinearly coupled to the magnetostatic and the Navier-Stokes equations. The other two models use algebraic equations to determine the magnetization based on the linearized Langevin formula and are derived by us for the purpose of comparison. In case of "model W", we assume that the suspension yields a single-phase flow with negligible mass of magnetic nanoparticles. The other model is derived under the assumption that fluid particles and magnetic particles set up a two-phase fluid. It shows similarities to the model from Himmelsbach et al. (2017). All three models follow a two-domain approach – considering the magnetic field on a possibly larger domain compared to the fluid domain – of which we expect higher accuracy in determining the total magnetic field. The case when the two domains coincide requires some slight changes which are discussed when needed. In contrast to other works in the mathematical literature, the boundary conditions of the magnetization equation in "model GW" are motivated by physical arguments only, not by practical aspects with respect to mathematical analysis. They entail H(div,curl)-regularity of the magnetic quantities – magnetization and (total) magnetic field – but possibly not H1-regularity. To establish existence of solutions to this model, the absence of H1-regularity is compensated by an intricate approximation procedure. For this, we give a meaning to the Kelvin force (m*nabla)h in the distributional sense. Existence of distributional global-in-time solutions is guaranteed under appropriate assumptions. The latter include nonlinear diffusion to be used in the evolution equation for the magnetic particles' density and the restriction to the two-dimensional setting. An existence result of global-in-time weak solutions to a regularized model is presented also in the three-dimensional setting. To each of the three models, we propose an unconditionally energy stable finite element scheme. The discretization of "model GW" has already been published in our joint work (2019). Here, non-conforming finite elements are used to approximate the magnetization – similar as in a paper of Nochetto et al. (2015). For the first time, however, the second order differential operators nabla div and curl curl in the magnetization equation have been discretized by introducing the operators divh and curlh – discrete versions of div and curl. The latter are defined by duality and yield H1-conforming approximations of the divergence and curl of a vector field. By means of Schaefer's fixed point theorem, existence of discrete solutions is guaranteed for all three schemes. The existence results are independent of the discretization parameters. The thesis concludes with simulations that serve as a proof of concept for the models and their numerical schemes. The three models are compared in the case of linear diffusion and the case of nonlinear diffusion which has been used in the analysis part of this thesis. For simplicity, most simulations are performed under the assumption that the domain of the magnetic field coincides with the fluid domain. Using "model W" – for practical reasons – the effects of multiple different external magnetic fields are examined as well as the impact of using a strictly larger domain for the magnetic field. Mit Hilfe des Onsager'schen Variationsprinzips werden in dieser Dissertation drei Modelle – bezeichnet mit "Modell GW", "Modell W" und "Modell B" – hergeleitet, welche jeweils die Bewegung superparamagnetischer Teilchen in einem inkompressiblen Fluid unter dem Einfluss eines Magnetfeldes beschreiben. Das erstgenannte "Modell GW" wurde bereits von uns (2019) vorgestellt und ist unseres Wissens das erste Modell, welches Evolutionsgleichungen sowohl für die Magnetisierung als auch die Dichte der magnetischen Teilchen enthält. Zusammen mit den magnetostatischen Gleichungen und den Navier-Stokes-Gleichungen erhält man ein nichtlineares gekoppeltes System partieller Differentialgleichungen. In den anderen beiden Modellen wird die Magnetisierung durch eine algebraische Gleichung auf Basis der linearisierten Langevin-Formel bestimmt. Bei "Modell W" wird zudem angenommen, dass die Masse der magnetischen Teilchen im Fluid vernachlässigbar ist, während bei "Modell B" eine Zweiphasenströmung modelliert wird. Der letztgenannte Modellierungsansatz führt auf ein ähnliches Modell wie von Himmelsbach et al. (2017). Aus physikalischen Gründen wird das Magnetfeld bei allen drei Modellen auf einer Obermenge des Gebietes, auf dem die Strömungsvorgänge ablaufen, modelliert. Diese Dissertation beinhaltet jedoch auch Hinweise wie im Gleichheitsfall vorzugehen ist. Anders als in den meisten Arbeiten, die man in der Literatur findet, lassen wir uns bei der Wahl der Randbedingungen von physikalischen Überlegungen und nicht so sehr von mathematisch pragmatischen Erwägungen leiten. So implizieren die Randbedingungen der Magnetisierungsgleichung in "Modell GW" bei Magnetisierung m und Gesamtmagnetfeld h zwar H(div,rot)-Regularität, möglicherweise jedoch keine H1-Regularität. Unter geeigneten Annahmen, darunter eine spezielle nichtlineare Diffusion und Einschränkung auf zwei Raumdimensionen, wird globale Existenz einer distributionellen Lösung in der Zeit gezeigt. Dazu wird ein neuartiger Approximationsansatz entwickelt, der es erlaubt die Kelvin-Kraft (m*nabla)h im distributionellen Sinn zu definieren. Im dreidimensionalen Fall wird ein Existenzresultat für ein regularisiertes Modell bewiesen unter allgemeinen Rahmenbedingungen. Zu allen drei Modellen wird ein uneingeschränkt (energetisch) stabiles Finite-Element-Verfahren entwickelt. Die numerische Methode für "Modell GW" wurde bereits von uns (2019) veröffentlicht. Ähnlich wie bei Nochetto et al. (2015) werden nicht-konforme finite Elemente zur Approximation der Magnetisierung verwendet. Erstmals gelingt eine geeignete Diskretisierung der Differentialoperatoren nabla div und rot rot. Voraussetzung dafür ist die variationelle Definition diskreter Operatoren divh und roth, die H1-konforme Approximationen von Divergenz und Rotation eines Vektorfeldes liefern. Die Wohlgestelltheit der numerischen Schemata, d.h. die Existenz diskreter Lösungen, ist unabhängig von den Diskretisierungsparametern für alle drei Modelle dieser Dissertation garantiert. Hierfür wurde der Schaefer'sche Fixpunktsatz verwendet. Die Ergebnisse von Proof-of-Concept-Simulationen werden vorgestellt, welche die Basis für einen Vergleich der Modelle bilden. Es wird sowohl der Fall der nichtlinearen Diffusion, die zum Existenzresultat führte, als auch der Fall linearer Diffusion untersucht. Zur Vereinfachung wird dabei das Magnetfeld meistens nur auf dem Gebiet des Fluids simuliert. Weitere Simulationen werden aus praktischen Gründen nur unter Nutzung von "Modell W" durchgeführt. Dabei werden mehrere verschiedene Magnetfelder und auch der Fall, wenn das Simulationsgebiet des Magnetfeldes strikt größer ist als das Gebiet des Fluids, untersucht. |
