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Dissertação de Mestrado em Matemática apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia Este trabalho aborda um problema de otimização relacionado com o tratamento de estruturas tumorais, conhecido por Radioterapia de Intensidade Modulada. Este método de tratamento baseia-se na incidência de radiação raio-X, que visa destruir as células malignas, preservando, na medida do possível, os órgãos vitais circundantes. Este texto analisa este tipo de tratamento e seu planeamento com o objetivo de tornar eficaz sua aplicação.Radioterapia é um tratamento médico que consiste em utilizar radiação ionizante contra o tumor, que é absorvida, danificando o ácido desoxirribonucleico (ADN) das células cancerígenas, destruindo-as. A intensidade necessária para cessar a reprodução das células tumorais é menor do que para células não cancerosas. Além disso, essas células não-cancerosas têm a capacidade de se reproduzirem mesmo com ADN danificado, ao contrário das células cancerígenas. Isto torna-se uma vantagem para o tratamento, mas não suficiente. Embora as células tumorais sejam mais sensíveis à radiação, na maioria das vezes, a sua erradicação envolve a destruição de células não cancerosas. Na radioterapia é quase impraticável administrar uma quantidade nula de dose ao tecido normal adjacentes às estruturas alvo (isto é, o tumor).Como tal, o objetivo passa por entregar uma dose cumulativa razoável ao tumor, minimizando a dose administrada ao tecido normal.Esta é uma das maiores dificuldades deste processo, uma vez que existem células críticas que não podem ser destruídas para certificar a manutenção dos correspondentes órgãos em risco.Nas últimas décadas, várias abordagens computacionais foram desenvolvidas para melhorar a precisão e eficácia da radioterapia. Diferentes técnicas de digitalização surgiram, como tomografia computadorizada (TC), ressonância magnética (RM), sistemas de planeamento de tratamento 3D, entre outros, o que significou um grande passo nesta área. Essas técnicas foram cruciais não apenas para diagnosticar os tumores, mas também para caracterizar a sua composição e melhorar a sua representação.Esses avanços foram seguidos por outras melhorias que poderiam superar os primeiros equipamentos de radiografia. A radioterapia era administrada de forma manual e intuitiva por um médico, o que implicava uma grande margem de possíveis erros.O desenvolvimento do software e hardware na tecnologia médica permitiu que este processo fosse mais preciso na determinação da posição mais apropriada para o paciente paciente, o número e a distribuição dos ângulos de feixe, o tipo de energia e intensidade de radiação.Esse desenvolvimento tecnológico eliminou a metodologia de planeamento manual, mas não a abordagem de tentativa e erro, na qual os parâmetros são fixados e a distribuição da dose é feita através de várias tentativas no paciente, até que um resultado razoável seja encontrado.Nesta tese, considera-se uma formulação proposta por Bertsimas et al, que visa encontrar um conjunto de ângulos e intensidades de feixe, minimizando o efeito da radiação incidente sobre os corpos vitais e maximizando a radiação absorvida pelas células malignas representando as consequências biológicas da radiação. Para contornar a não-linearidade da formulação, métodos heurísticos são descritos e aplicados a um caso fantasma, composto por células tumorais e um órgão circundante. Resultados experimentais comparam diferentes variantes dos métodos, a fim de avaliá-los em termos dos valores da função objetivo e dos tempos de execução. The present work deals with an optimization problem related to the treatment of tumor forms, known as intensity modulated radiotherapy. This treatment method is based on the incidence of X-ray radiation, which aims to destroy malignant cells, whilst preserving, as far as possible, the surrounding vital organs. This text reviews this type of treatment and its planning with the goal of making its application effective.Radiotherapy or radiation therapy is a medical treatment of cancerous cells on the human tissue. This treatment consists on using ionizing radiation against the tumor, which is absorbed and damages the deoxyribonucleic acid (DNA) of the cancerous cells, destroying them. The intensity required to disable the reproduction of the tumor cells is smaller than for non-cancerous cells. Moreover, these non-cancerous cells have the merit of reproducing themselves even with damaged DNA, unlike the cancerous-cells. This turns into an advantage for the radiotherapy treatment, but it is not enough. Although tumor cells are more sensitive to radiation, most of the times, their eradication involves the destruction of non-cancerous cells. In radiation therapy it is almost impractical to deliver zero dose to the normal tissue (all the body cells which do not belong to any particular tumor structure) adjoining the target volumes (i.e., the tumor).As such, the goal is to deliver a reasonable cumulative dose to the tumor body while minimizing the dose delivered to normal tissue \cite{ehrgott2010mathematical,webb1989optimisation}. This is one of the biggest difficulties of this process, since there are critical cells that cannot be destroyed in order to certify the sustention of the corresponding organs at risk (OARs). In the last decades, several computational approaches have been developed in order to improve the accuracy and effectiveness of radiation therapy. Distinct scanning techniques have emerged, such as computed tomography (CT), magnetic resonance imaging (MRI), 3D treatment planning systems, among others, which meant a huge step in this area. These techniques were crucial not only to diagnose the tumors, but also to characterize their composition and to image them in a better way.These advances were followed by other improvements that could overcome early radiography equipments. The radiotherapy used to be managed manually and intuitively by a physician, which incurs, evidently, in a large margin of possible errors. The development of the software and hardware in medical technology (3D planning, velocity of calculations, delivery of radiation) allowed this process to be more accurate in the determination of the most appropriate patient position, the number and distribution of beam angles, the type of energy and intensity of radiation and dose disposal through the tumor. Additionally, it also improved the outline of tumors' shape (Clinical Target Volume) and the OARs.This technological development eliminated the hand planning methodology, but not the trial and error approach, in which the parameters are fixed and the dose distribution is made through several attempts on the patient, until a reasonable outcome is found.In this thesis, a formulation proposed by Bertsimas et al is considered, which aims at finding a set of angles and the beamlet intensities while minimizing the effect of incident radiation on vital bodies and maximizing the radiation absorbed by the malignant cells representing the biological consequences of radiation. In order to circumvent the nonlinearity of the formulation, heuristic methods are described and applied to one phantom case, composed by tumor cells and one surrounding organ, both discretized in voxels. The set of beamlets per beam are defined by bixels and the combination of one, three, five and seven angles are applied. Experimental results compare different variants of the methods, in order to assess them in terms of the objective function values and the run times. |
