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In der vorliegenden Dissertation werden Strömungen, wie sie insbesondere bei der Farbspaltung im Druckprozess vorkommen, analytisch, experimentell und mittels dreidimensionalen Gitter-Boltzmann Simulationen untersucht. Dabei wird zwischen quasistatischen und instabilen Prozessen, sowie zwischen der Punktspaltung (Farbspaltung 2.Klasse) und Schichtspaltung (Farbspaltung 1.Klasse) unterschieden. Analytische Untersuchungen der quasistatischen Farbspaltung 2.Klasse erfolgen mittels Methoden der Variationsrechnung, welche auf gewöhnliche Differentialgleichungen 1.Ordnung für die unbekannten Konturkurven der freien Flüssigkeitsoberfläche führen. Da diese Differentialgleichungen i.A. nicht analytisch lösbar sind, wird das Problem der quasistatischen Punktspaltung mittels des hier entwickelten Gitter-Boltzmann Verfahrens simuliert. Dabei werden erstmals benetzbare Festkörper in eine dreidimensionale Gitter-Boltzmann Simulation von Zweiphasenströmungen implementiert. Ein experimenteller Vergleich von Simulation und Realität, anhand der Kombination Teflon-Glyzerin-Teflon, zeigt eine sehr gute Übereinstimmung. Als mathematisches Modell für die instabile Farbspaltung dient die sog. Hele-Shaw Zelle. Eine lineare Stabilitätsanalyse der hydrodynamischen Grundgleichungen liefert dabei sowohl ein Stabilitätskriterium, als auch eine dominante Wellenzahl für sich ausbildende Störungen. Im Fall der instabilen Farbspaltung 2.Klasse wird zusätzlich der Versuch unternommen die Platten der Hele-Shaw Zelle mit einer periodisch strukturierten Oberfläche zu versehen, was allerdings zur Folge hat, dass lediglich die ungestörte Strömungsgleichung analytisch lösbar bleibt, während die dominante Wellenzahl einer Anfangsstörung nicht zu ermitteln ist. Im Fall der instabilen Farbspaltung 1.Klasse wird das theoretisch ermittelte Stabilitätskriterium (Modell: Hele-Shaw Zelle mit sich öffnenden Platten) mittels Druckversuchen überprüft. Es zeigt sich ein gute qualitative Korrelation zwischen Theorie und Experiment. Nach einer Einführung in die Theorie der Gittergase wird ein Gitter-Boltzmann Verfahren entwickelt, welches eine dreidimensionale Simulation der Schichtspaltung im Spaltauslauf zwischen rotierenden Walzen erlaubt. Die konkreten Simulationsergebnisse zeigen dabei z.B. einen, dem eigentlichen Spaltpunkt vorgelagerten Rückstromwirbel, welcher auch in realen Versuchen von Van der Bergh beobachtet wurde. Lage und Ausdehnung dieses Wirbels sind dabei von den makroskopischen Stoffgrößen des Fluids (Viskosität, Oberflächenspannung etc.), der Walzengeometrie und Walzengeschwindigkeit abhängig. Die implementierte Grenzflächenenergie zwischen Festkörper und Fluid beeinflusst das Strömungsbild hingegen nicht. This dissertation deals with hydrodynamic problems that especially occur in printing process. The ink splitting flow is studied in an analytically, experimentally way and by means of lattice Boltzmann simulations. In consideration of the Euler equation (calculus of variations), the analytical investigation of the quasistatical ink splitting leads to a differential equation for the unknown shape of the free liquid-gas interface. Due to the fact that this ordinary differential equation of first order is unsolvable, the problem of quasistatical drop splitting is simulated with a new lattice Boltzmann method, which enables the implementation of solid-liquid adhesion in a three-dimensional lattice Boltzmann simulation of two-phase flows. On the basis of the combination teflon-glycerine-teflon the results of the simulations are in very good agreement with the experimental data. The Hele Shaw cell is introduced as a mathematical model for the unstable ink splitting. A linear stability analysis of the hydrodynamic equations leads to the dominant wavenumber for an initial perturbation. In the case of the unstable ink splitting of second class (the splitting of a liquid drop between parallel plates) periodically structured surfaces of the Hele Shaw cell are considered. The consequence however is that only the unperturbed flow equation remains analytically solvable, while the dominant wavenumber of an initial perturbation can not be determined. In the case of the unstable ink splitting of first class (the splitting of a liquid film) the theoretically determined condition of stability (mathematical model: Hele Shaw cell with lifting plates) is verified by printing experiments. The result is that theory and experiment are correlated in a qualitative way. The numerical part of the dissertation starts with an introduction of the theory of lattice gases. Then a lattice-Boltzmann method is developed, enabling a three-dimensional simulation of the liquid film split between two rotating cylinders. The concrete simulations of this flow show, for example, a vortex near the free surface of the fluid. This was also observed in real experiments by Van der Bergh. The Position and expansion of this eddy depends on the physical properties of the fluid (viscosity, surface tension etc.), the cylinder geometry and the tangential component of the velocity of the cylinders. The implemented adhesion between the solid cylinders and the fluid does not influence the flow pattern. |
