Mathematical modeling in Neuroscience: Collective behavior of neuronal networks & the role of local homeoproteins diffusion in morphogenesis

Autor: Quiñinao, Cristóbal
Přispěvatelé: Laboratoire Jacques-Louis Lions (LJLL), Université Pierre et Marie Curie - Paris 6 (UPMC)-Université Paris Diderot - Paris 7 (UPD7)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université Pierre et Marie Curie (Paris VI), Benoît Perthame, Stéphane Mischler, Jonathan Touboul
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2015
Předmět:
Zdroj: Analysis of PDEs [math.AP]. Université Pierre et Marie Curie (Paris VI), 2015. English
Popis: This work is devoted to the study of mathematical questions arising from the modeling of biologicalsystems combining analytic and probabilistic tools. It is principally related to: (1) the mathematicalmodeling and analysis of neuronal networks, (2) the role of homeoproteins diusion in morphogenesis,and (3) the chaos propagation property for a particle system for a subcritical Keller-Segel equation.The first part is concerned with the chaos propagation and long time behaviour of the solutions of somemean-field equations. More precisely, to the derivation of the mean-field equations related to neuronalnetworks, and the study of the convergence to the equilibria of the solutions to those limit equations.First, in Chapter 2, the coupling method is used to prove the chaos propagation for a neuronal networkwith delays and random architecture. The main novelty is to consider the delays and the synapticweights correlated, which is the case of biological networks where the anatomically close neurons arestrongly connected. It is found, in the case of a ring rate dynamic, that the level of connectivity plays aremarkable role in the emergence of synchronized oscillatory solutions. In Chapter 3, a kinetic FitzHugh-Nagumo equation is considered. The existence of solutions to this equation is analyzed and, by using aperturbation argument, it is proved the nonlinear exponential convergence of the solutions in the weakconnectivity regime. Finally, by using the uniqueness of weak solutions, the chaos propagation property isjustied. It has to be remarked that the coecients of the mean-field equation are not globally Lipschitz,which, in particular, improve the classical results. Moreover, the differential operator is hypodissipative:an argument of semigroup decomposition is used to prove the convergence of the linear equation.The second part is related to the study of the role of homeoproteins (HPs) on the robustness of boundariesof functional areas. The HPs are transcriptional factors of developmental gens, known for having anon-autonomous activity and the possibility to express themselves and to diffuse towards neighbouringcells. In Chapter 4, it is proposed, based on two classical theories of morphogenesis, a general modelfor neuronal development. The model describes the competition between two HPs with weak diffusivity.By the analysis of the stationary solutions in the autonomous case, it is demonstrated that in the absenceof diffusion, the HPs are expressed on irregular areas. But in presence of diffusion, even arbitrarilysmall, boundaries well defined emerge. In Chapter 5, a more general model in the one dimensional caseis considered where the existence of monotonic stationary solutions dening a unique intersection pointcan be showed. Moreover, when the diusivity coecient goes to zero, it is proved that the stationarysolutions converge to a unique solution of an autonomous dynamical system with a unique discontinuitypoint. This discontinuity point is characterised as the only spatial point where the speed of a particulartraveling wave is zero.Finally, in the third part, a particle system for a subcritical Keller-Segel equation is the object ofstudy. It is shown the chaos propagation without any restriction on the force kernel. Moreover, by usingthe notion of renormalised solutions of PDEs, it is demonstrated that the propagation of chaos is in thestronger sense of entropic chaos propagation.; Ce travail est consacre a l'etude de quelques questions mathematiques issues de la modelisation dessystemes biologiques en combinant des outils analytiques et probabilistes. Il est principalement lie a:(1) la modelisation mathematique et l'analyse des reseaux neuronaux, (2) le role de la diffusion deshomeoproteines dans la morphogenese et (3) la propriete de propagation du chaos pour un systeme departicules pour une equation de Keller-Segel sous-critique.Dans la premiere partie, nous nous interessons a la propagation du chaos et au comportement en tempslong des solutions des equations de champ moyen. Plus precisement, nous nous interessons a la derivationdes equations de champ moyen associees aux reseaux de neurones, ainsi qu'a l'etude de la convergencevers l'equilibre des solutions des equations limites. Tout d'abord, dans le Chapitre 2, nous utilisons lamethode de couplage pour demontrer la propagation du chaos pour un reseaux neuronal avec delais etavec une architecture aleatoire. La principale nouveaute est de considerer delais et poids synaptiquescorreles, comme ceci est le cas dans les reseaux biologiques ou les neurones proches anatomiquement sontplus fortement connectes. Ceci nous permet de montrer, dans le cas d'une dynamique de type taux dedecharge, que le niveau de connectivite joue un role remarquable dans l'emergence de solutions oscillantessynchonisees. Dans le Chapitre 3, nous considerons une equation cinetique du type FitzHugh-Nagumo.Nous analysons l'existence de solutions a cette equation et, en utilisant un argument de perturbation,prouvons la convergence exponentielle de l'equation non lineaire dans les regimes de faible connectivite.Enn, en utilisant l'unicite de la solution faible, nous justions la propagation du chaos. Il est a noterque les coecients de l'equation de champ moyen ne sont pas globalement Lipschitziens, ce qui amelioreen particulier les resultats classiques. En outre, l'operateur dierentiel est hypodissipatif: nous utilisonsun argument de decomposition du semigroupe pour prouver la convergence de l'equation linfaire.Dans la deuxieme partie, nous etudions le role des homeoproteines (HPs) sur la robustesse des bordsdes aires fonctionnelles. Les HPs sont des facteurs de transcription des genes du developpement connuspour avoir une activite non-autonome et la possibilite de se faire exprimer dans les cellules voisines pardiusion. Dans le Chapitre 4, nous proposons, sur la base de deux theories classiques de la morphogenese,un modele general du developpement neuronal. Le modele decrit la competition entre deux HPs avec faiblediffusion. Par l'analyse des solutions stationnaires dans le cas autonome, nous prouvons qu'en l'absencede diffusion, les HPs sont exprimees dierentiellement dans des regions irregulieres. Mais en pressence dediffusion, meme arbitrairement faible, des frontieres bien definies entre les dierentes zones fonctionnellesemergent. Dans le Chapitre 5, nous considerons le modele general dans le cas unidimensionnel et prouvonsl'existence de solutions stationnaires monotones denissant un point d'intersection unique aussi faible quesoit le coecient de diusion. De plus, quand le coecient de diffusion tend vers zero, nous prouvonsque les solutions stationnaires convergent vers une solution d'un systeme dynamique autonome qui aun unique point de discontinuite caracterise comme l'unique point de l'espace ou la vitesse d'une ondeprogressive particuliere s'annule.Enfin, dans la troisieme partie, nous etudions un systeme de particules pour une equation de Keller-Segel sous-critique. Nous demontrons la propagation du chaos sans aucune restriction sur le noyau deforce. En outre, en utilisant la notion de solutions de renormalisation pour les EDP, nous demontronsque la propagation du chaos a lieu dans le sens plus fort de chaos entropique.
Databáze: OpenAIRE
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