Limit theorems for continuous-time vector martingales and statistical applications

Autor: Fathallah, Hamdi
Přispěvatelé: Laboratoire de Mathématiques de Versailles (LMV), Université de Versailles Saint-Quentin-en-Yvelines (UVSQ)-Université Paris-Saclay-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Université de Versailles-Saint Quentin en Yvelines, Faculté des Sciences de Bizerte, Pr. F. Chaâbane et Pr. A. Mokkadem
Jazyk: francouzština
Rok vydání: 2010
Předmět:
Zdroj: Mathématiques [math]. Université de Versailles-Saint Quentin en Yvelines; Faculté des Sciences de Bizerte, 2010. Français
Popis: This thesis consists of three parts. The first part deals with the problem of parameter estimation in the gaussian autoregressive model in continuous time. By an averaging method, we construct an estimator of the couple $(\theta,\sigma^{2})$ without discretization of the observed process and this estimator is shown to be asymptotically distributed as a couple of independent gaussian random variables for any given initial state $X_{0}$ is. In the second part, we establish the almost-sure central limit theorem (ASCLT) for a quasi-left continuous vector martingale with explosive and mixed : regular and explosive growth. We also prove a quadratic extension and establish several new central limit theorems associated with the obtained ASCLT. We finally study the problem of parameter estimation in the particular case of multidimensional diffusion processes, which illustrates in a concrete manner the use of our results. The third part deals with the problem of parameter estimation of a continuous-time p-dimensional gaussian autoregressive process. In the stable case, we combine averaging and weighting methods to establish, for the weighted LS-estimator (least-squares estimator) $\tilde{\theta}$ of $\theta$, an almost-sure central limit theorem (ASCLT), a quadratic strong law (QSL) and a central limit theorem (CLT) associated to the QSL with arithmetic convergence rates. In the unstable case, we establish for the LS-estimator $\hat{\theta}$ of $\theta$, the same optimal asymptotic properties with arithmetic convergence rates.; Cette thèse se compose de trois parties. Dans la première partie, en utilisant les théorèmes limites par moyennisation logarithmique pour des martingales continues en temps continu, on construit un estimateur du couple $(\theta,\sigma^{2})$ pour un modèle autorégressif gaussien stable à temps continu et on montre que cet estimateur est asymptotiquement distribué comme un couple de variables aléatoires gaussiennes indépendantes quelle que soit la loi de l'\état initial $X_{0}$. La deuxième partie est consacrée à établir des résultats autour du théorème limite presque-sûre pour des martingales vectorielles quasi-continues à gauche en temps continu et à croissance explosive ou mixte. On applique les résultats obtenus au modèle d'Ornstein-Uhlenbeck bivarié utilisé en modélisation biologique et en mathématiques financières. Dans la dernière partie, on établit pour l'estimateur des moindres carrés $\hat{\theta}$ de $\theta$ d'un modèle autorégressif gaussien à temps continu non nécessairement stable, un théorème limite centrale presque-sûre (TLCPS), une loi forte quadratique associée au TLCPS et un théorème de la limite centrale logarithmique. Dans le cas stable, on propose d'utiliser l'estimateur des moindres carrés pondéré $\tilde{\theta}$ de $\theta$ pour améliorer les vitesses de convergence logarithmique dans les théorèmes obtenus. Dans le cas instable, on établit, pour l'estimateur des moindres carrés $\hat{\theta}$, les mêmes type de propriétés asymptotiques avec une vitesse de convergence arithmétique.
Databáze: OpenAIRE
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