Réduction semi-stable des variétés abéliennes
| Autor: | Philip, Séverin |
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| Přispěvatelé: | STAR, ABES |
| Jazyk: | francouzština |
| Rok vydání: | 2021 |
| Předmět: | |
| Popis: | In this thesis, we study the semi-stable property of abelian varieties overnumber fields. More precisely, we study the minimal degree of a field extension that is necessary for an abelian variety of fixed dimension over a number field to obtain semi-stable reduction. We denote by dg this degree,which depends only on the dimension g, and by d(A) the minimal degreefor a given abelian variety A over a number field, which depends only onA. The principal objects of our study are the finite monodromy groups ofA which were introduced by Grothendieck. These groups that we denote byΦA,v for non archimedean places v of K represent the local obstruction tosemi-stability. We start by linking the cardinals of these groups at the placesof bad reduction and the integer d(A). This, with the work of Silverbergand Zarhin, gives that the Minkowski bound M(2g) is divisible by dg. Wecontinue by studying the geometric behaviour of these groups, i.e. their behaviour in the fibers of abelian schemes. By considering a universal abelianscheme provided by Mumford we deduce the existence of abelian varietieswith prescribed finite monodromy groups relative to a number field undersome technical conditions. We finish by building for every odd prime (bytorsion in Galois cohomology) abelian varieties with complex multiplicationthat have maximal finite monodromy at that prime over a same numberfield (in arbitrary dimension). We deduce, for any nonzero integer g, theinequalityM(2g)/2^(g−1)≤ dg ≤ M(2g). Dans cette thèse, on s'intéresse à la propriété de semi-stabilité des variétés abéliennes sur les corps de nombres. Plus précisément, on étudie le degré minimal d'une extension de corps nécessaire pour qu'une variété abélienne de dimension fixée sur un corps de nombres atteigne réduction semi-stable.On note dg ce degré, qui ne dépend que de la dimension g, et on note d(A)le degré minimal pour une variété abélienne A sur un corps de nombres K donnée, celui-ci ne dépend que de A. Les objets principaux de notre étude sont les groupes de monodromie finie de A, introduits par Grothendieck. Ces groupes, notés ΦA,v pour les places non archimédiennes v de K, représentent l'obstruction locale à la semi-stabilité. On relie dans un premier temps le cardinal de ces groupes aux différentes places de mauvaise réduction à l'entier d(A). Ceci, avec les travaux de Silverberg et Zarhin, donne que dg divise la borne de Minkowski M(2g). On poursuit par une étude du comportement géométrique de ces groupes, c'est-à-dire dans les fibres d'un schéma abélien. En considérant un schéma abélien universel fourni par Mumford,on en déduit l'existence de variétés abéliennes avec groupes de monodromie finie prescrits relativement à un corps de nombres sous quelques conditions techniques. On termine en construisant pour chaque premier impair (par torsion en cohomologie galoisienne) des variétés abéliennes avec multiplication complexe qui ont monodromie finie maximale en ce nombre premier sur un même corps de nombres (en toute dimension). On en déduit, pour tout entier naturel non nul g, l'inégalité M(2g)/2^(g−1)≤ dg ≤ M(2g). |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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