Polynomial and multilevel preconditioners for the Helmholtz equation based on the shifted Laplacian

Autor: García Ramos, Luis Alberto
Přispěvatelé: Nabben, Reinhard, Technische Universität Berlin, Liesen, Jörg, Gijzen, Martin van
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2022
Předmět:
DOI: 10.14279/depositonce-15827
Popis: In this dissertation we study various preconditioning methods based on the complex shifted Laplacian for the Helmholtz equation. This equation describes time-harmonic solutions to the wave equation and appears in various important engineering and scientific applications. First, we introduce a polynomial preconditioner which combines the shifted Laplacian with approximation by Faber series. We exploit the localization of the spectrum of the CSL preconditioned system to approximately enclose the eigenvalues by a non-convex set and approximate the function 1/z on this set by a Faber series. The preconditioner is obtained by truncating this series and applying it to the Helmholtz matrix preconditioned by the shifted Laplacian and the performance is illustrated with numerical results in 1-D and 2-D. In the second part we focus on the analysis of deflation and two-level methods. We obtain a characterization of the spectrum of matrices of the form PA where P is an arbitrary projection and A is nonsingular, which is then used to study the spectrum of matrices resulting from the application of two-level preconditioning and the deflation technique. We also prove a residual bound for deflated GMRES based on the field of values and uncover some properties of the spectrum of Helmholtz matrices preconditioned by the two-level shifted Laplacian. Moreover, we use our results to obtain optimal interpolation operators for Hermitian positive definite problems with respect to the spectral radius of the iteration matrix of the two-grid method. In the final part, we analyze a two-level preconditioner for the Helmholtz equation for problems discretized with finite elements using the convergence theory of GMRES based on the field of values. Our main result is a sufficient condition on the coarse mesh size and the shift parameter in the shifted Laplacian in order to obtain wavenumber-independent convergence of GMRES applied to the two-level-preconditioned system.
In dieser Arbeit untersuchen wir verschiedene Vorkonditionierungsmethoden, die auf dem verschobenen Laplacian-Operator für die Helmholtz-Gleichung basieren. Im ersten Teil führen wir eine polynomiale Vorkonditionierung ein, die den verschobenen Laplace-Operator durch Faber-Reihen kombiniert. Wir nutzen die Lokalisierung des Spektrums des CSL-vorkonditionierten Systems aus, um die Eigenwerte näherungsweise durch eine nicht-konvexe Menge einzuschliessen und die Funktion 1/z auf der Einschlussmenge durch eine Faber-Reihe zu approximieren. Der Vorkonditionierer wird durch Abschneiden dieser Reihe und Anwendung auf die durch den verschobenen Laplacian vorkonditionierte Helmholtz-Matrix erhalten, und die Leistung wird mit numerischen Ergebnissen in 1-D und 2-D veranschaulicht. Im zweiten Teil konzentrieren wir uns auf die Analyse von Deflations- und Zwei-Stufen-Methoden. Wir erhalten eine Charakterisierung des Spektrums von Matrizen der Form PA, wobei P eine beliebige Projektion ist und A nichtsingulär ist, die dann verwendet wird, um das Spektrum von Matrizen zu untersuchen, die aus der Anwendung von zweistufiger Vorkonditionierung und der Deflationstechnik resultieren. Wir beweisen auch eine Schranke für das Residuum in deflationerten GMRES, die auf dem numerischen Wertebereich basiert, und decken einige Eigenschaften des Spektrums von Helmholtz-Matrizen auf, die durch den zweistufigen verschobenen Laplacian vorkonditioniert sind. Darüber hinaus verwenden wir unsere Ergebnisse, um optimale Interpolationsoperatoren fur hermitsche positiv definite Probleme in Bezug auf den Spektralradius der Iterationsmatrix der Zwei-Gitter-Methode zu erhalten. Im letzten Teil analysieren wir einen zweistufigen Vorkonditionierer für die Helmholtz-Gleichung für Probleme, die mit finiten Elementen diskretisiert wurden, unter Verwendung der Konvergenztheorie von GMRES, die auf dem numerischen Wertebereich basiert. Unser Hauptergebnis ist eine hinreichende Bedingung für die grobe Maschenweite und den Shift im verschobenen Laplace-Operator, um eine wellenzahlunabhängige Konvergenz von GMRES bei Anwendung auf das zweistufig vorkonditioniertes System zu erhalten.
Databáze: OpenAIRE
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