An inequality of Kostka numbers and Galois groups of Schubert problems
| Autor: | Frank Sottile, Christopher J. Brooks, Abraham Martín del Campo |
|---|---|
| Jazyk: | angličtina |
| Rok vydání: | 2012 |
| Předmět: |
Pure mathematics
General Computer Science Schubert calculus Galois group Schubert varieties [INFO.INFO-DM]Computer Science [cs]/Discrete Mathematics [cs.DM] Theoretical Computer Science Mathematics - Algebraic Geometry Mathematics::Quantum Algebra FOS: Mathematics Mathematics - Combinatorics Discrete Mathematics and Combinatorics Projective space Mathematics::Representation Theory Fourier series Algebraic Geometry (math.AG) Mathematics Alternating group Toeplitz matrix Action (physics) Tensor product Galois groups 05E15 14N15 Combinatorics (math.CO) Kostka numbers |
| Popis: | We show that the Galois group of any Schubert problem involving lines in projective space contains the alternating group. Using a criterion of Vakil and a special position argument due to Schubert, this follows from a particular inequality among Kostka numbers of two-rowed tableaux. In most cases, an easy combinatorial injection proves the inequality. For the remaining cases, we use that these Kostka numbers appear in tensor product decompositions of $\mathfrak{sl}_2\mathbb{C}$ -modules. Interpreting the tensor product as the action of certain commuting Toeplitz matrices and using a spectral analysis and Fourier series rewrites the inequality as the positivity of an integral. We establish the inequality by estimating this integral. On montre que le groupe de Galois de tout problème de Schubert concernant des droites dans l'espace projective contient le groupe alterné. En utilisant un critère de Vakil et l'argument de position spéciale due à Schubert, ce résultat se déduit d'une inégalité particulière des nombres de Kostka des tableaux ayant deux rangées. Dans la plupart des cas, une injection combinatoriale facile montre l’inégalité. Pour les cas restants, on utilise le fait que ces nombres de Kostka apparaissent dans la décomposition en produit tensoriel des $\mathfrak{sl}_2\mathbb{C}$-modules. En interprétant le produit tensoriel comme l'action de certaines matrices de Toeplitz commutant entre elles, et en utilisant de l'analyse spectrale et les séries de Fourier, on réécrit l’inégalité comme la positivité d'une intégrale. L’inégalité sera établie en estimant cette intégrale. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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