Characterization of local quadratic growth for strong minima in the optimal control of semi-linear elliptic equations

Autor: Francisco J. Silva, Térence Bayen, J. Frédéric Bonnans
Přispěvatelé: Institut de Mathématiques et de Modélisation de Montpellier (I3M), Université Montpellier 2 - Sciences et Techniques (UM2)-Université de Montpellier (UM)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Control, Optimization, Models, Methods and Applications for Nonlinear Dynamical Systems (Commands), Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique (CMAP), École polytechnique (X)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-École polytechnique (X)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Inria Saclay - Ile de France, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria)-Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique (Inria), École polytechnique (X)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Dipartimento di Matematica 'Guido Castelnuovo' [Roma I] (Sapienza University of Rome), Università degli Studi di Roma 'La Sapienza' = Sapienza University [Rome] (UNIROMA), European Project: 264735,EC:FP7:PEOPLE,FP7-PEOPLE-2010-ITN,SADCO(2011), Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Montpellier 2 - Sciences et Techniques (UM2)-Université de Montpellier (UM), Università degli Studi di Roma 'La Sapienza' = Sapienza University [Rome], Analyse, Calcul Scientifique Industriel et Optimisation de Montpellier ( ACSIOM ), Université Montpellier 2 - Sciences et Techniques ( UM2 ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Control, Optimization, Models, Methods and Applications for Nonlinear Dynamical Systems ( Commands ), Centre de Mathématiques Appliquées - Ecole Polytechnique ( CMAP ), École polytechnique ( X ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -École polytechnique ( X ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ) -Inria Saclay - Ile de France, Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Institut National de Recherche en Informatique et en Automatique ( Inria ) -Unité de Mathématiques Appliquées ( UMA ), École Nationale Supérieure de Techniques Avancées ( Univ. Paris-Saclay, ENSTA ParisTech ) -École Nationale Supérieure de Techniques Avancées ( Univ. Paris-Saclay, ENSTA ParisTech ), École polytechnique ( X ) -Centre National de la Recherche Scientifique ( CNRS ), Dipartimento di Matematica 'Guido Castelnuovo' [Roma I] ( Sapienza University of Rome ), Università degli Studi di Roma 'La Sapienza' [Rome], European Project : 264735,EC:FP7:PEOPLE,FP7-PEOPLE-2010-ITN,SADCO ( 2011 )
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2014
Předmět:
Computer Science::Machine Learning
Hessian matrix
[ MATH.MATH-OC ] Mathematics [math]/Optimization and Control [math.OC]
0209 industrial biotechnology
MSC: 35J61
49J20
49K20
General Mathematics
Optimal control of PDE
Context (language use)
02 engineering and technology
Computer Science::Digital Libraries
01 natural sciences
Control constraints
Statistics::Machine Learning
symbols.namesake
020901 industrial engineering & automation
Second order optimality conditions
0101 mathematics
Mathematics
Quadratic growth
Strong minima
Applied Mathematics
010102 general mathematics
Mathematical analysis
SADCO
MSC 35J61
49J20
49K20
Pontryagin's minimum principle
Function (mathematics)
Optimal control
Local quadratic growth
Maxima and minima
Elliptic curve
Legendre form
Computer Science::Mathematical Software
symbols
[MATH.MATH-OC]Mathematics [math]/Optimization and Control [math.OC]
Zdroj: Transactions of the American Mathematical Society
Transactions of the American Mathematical Society, 2014, 366 (4), pp.2063--2087. ⟨10.1090/S0002-9947-2013-05961-2⟩
Transactions of the American Mathematical Society, American Mathematical Society, 2014, 366 (4), pp.2063--2087. ⟨10.1090/S0002-9947-2013-05961-2⟩
Transactions American Mathematical Society
Transactions American Mathematical Society, American Mathematical Society, 2014, 366 (4), pp.2063--2087. 〈10.1090/S0002-9947-2013-05961-2〉
ISSN: 0002-9947
1088-6850
DOI: 10.1090/S0002-9947-2013-05961-2⟩
Popis: International audience; In this article we consider an optimal control problem of a semi-linear elliptic equation, with bound constraints on the control. Our aim is to characterize local quadratic growth for the cost function $J$ in the sense of strong solutions. This means that the function $J$ growths quadratically over all feasible controls whose associated state is close enough to the nominal one, in the uniform topology. The study of strong solutions, classical in the Calculus of Variations, seems to be new in the context of PDE optimization. Our analysis, based on a decomposition result for the variation of the cost, combines Pontryagin's principle and second order conditions. While these two ingredients are known, we use them in such a way that we do not need to assume that the Hessian of Lagrangian of the problem is a Legendre form, or that it is uniformly positive on an extended set of critical directions.; Dans cet article nous considérons un problème de commande optimale d'une équation semi linéaire elliptique, avec contrainte de bornes sur la commande. Notre but est de caractériser la croissance quadratique locale du coût $J$ au sens des solutions fortes. Ceci signifie que le coût croît de manière quadratique sur l'ensemble des commandes dont l'état associé est proche de l'état nominal, dans la topologie uniforme. L'étude des solutions fortes, classique en calcul des variations, semble nouvelle dans le contexte de l'optimisation des EDP. Notre analyse, basée sur un résultat de décomposition pour la variation du coût, combine le principe de Pontryagine avec des conditions du second ordre. Bien que ces ingrédients soient connus, nous les utilisons sans supposer que le hessien du lagrangien est une forme de Legendre, ou est uniformément positif sur un ensemble de directions étendu.
Databáze: OpenAIRE
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