Low-dimensional Models for Subcritical Turbulence in Channel Flow - A Model Hierarchy Built on Production, Transfer and Dissipation of Turbulent Kinetic Energy

Autor: Rath, Michael, Eckhardt, Bruno (Prof. Dr.)
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2018
Předmět:
Zdroj: Michael Rath
Popis: Das Einsetzen von Turbulenz in der ebenen Kanalströmung wird bereits weit unterhalb der tatsächlichen linearen Instabilität des laminaren Profils beobachtet \parencite{Carlson1982, Orszag1971}. In diesem subkritischen Bereich führen entsprechend gewählte dreidimensionale Störungen zu transient wachsender Turbulenz, die in genügend großen Simulationsdomänen einen raumzeitlich komplexen und intermittenten Charakter zeigt \parencite{Duguet2013,Lemoult2012}. Dieser Übergang zur Turbulenz ist charakterisiert durch die globale, plötzliche und gleichzeitige Aktivität von vielen Freiheitsgraden \parencite{Grossmann2000}. Er unterscheidet sich vom besser verstandenen lokalen Charakter der sich im Vergleich eher langsam entwickelnden linearen Instabilität bei einer be\-stimmten Wellenzahl, auf die eine Kaskade weiterer Instabilitäten zu immer kom\-ple\-xe\-rer Dynamik führt \parencite{Eckhardt2017,Manneville2005,ZammertPHD}. Während der lineare Mechanismus der nicht-normalen Verstärkung dabei einen wichtigen Grund\-pfeiler der sich selbst weiter anfachenden Turbulenz in Scherströmungen dar\-stellt \parencite{Trefethen1993}, ist die Nichtlinearität mindestens ein ebenso wichtiges Charakteristikum auf dem Weg zum Verständnis von subkritischer Turbulenz im Rahmen von mehr oder weniger einfachen Modellen \parencite {Waleffe1997}. Die jeweiligen Nicht\-li\-nea\-ri\-tä\-ten dieser Modelle formen nämlich den Zustandsraum \parencite{Eckhardt2006, Dauchot1997}, und ihre Wahl organisiert letztendlich die Dynamik, die wir beobachten. Dwight Barkley entwickelte vor einiger Zeit ein Modell für die Rohrströmung, bestehend aus zwei 1 + 1-dimensionalen, gekoppelten, dem FitzHugh-Nagumo-Modell angelehnten Reaktions-Advektions-Diffusions-Gleichungen \parencite{Barkley2011}. Die auf Anregbarkeit und Bistabilität aufgebaute Dynamik dieser Gleichungen, welche ursprünglich in der Modellierung der Axone des Nervensystems genutzt werden, ahmt das Zusammenspiel von transienter Turbulenz, Übergang zur Turbulenz und Relaminarisierung nach. Dabei werden erstaunlich viele Phänomene in eben jenem Übergangsbereich der Rohrströmung reproduziert, obwohl das Modell nicht direkt aus den ursprünglichen Impulsgleichungen hergeleitet ist. In Anbetracht der Qualtität dieses einfachen Modells entstand die Idee, ein ähnliches Modell, bestehend aus zwei gekoppelten gewöhnlichen Differentialgleichungen, direkter aus den Navier-Stokes-Gleichungen herzuleiten. Die analytisch hergeleiteten Gleichungen beschreiben die zeitliche Entwicklung der turbulenten kinetischen Energie in Strömungsrichtung und senkrecht dazu. Zentral dabei ist, dass sich beim volumetrischen Mittel im stationären Fall ein Gleichgewicht zwischen Pro\-duk\-tions\-ra\-te an turbulenter kinetischer Energie, der Energietransferrate zwischen den Komponenten und den jeweiligen Dissipationen einstellt. Im Folgenden wird Term für Term modelliert, um schließlich ein geschlossenes Modell mit zwei Unbekannten zu erhalten, die für die turbulenten Energien in Strömungsrichtung und senkrecht dazu stehen. Auf einer qualitativen Ebene werden wir unser Vorgehen auf dimensionsanalytische Argumente stützen sowie topologische Bedingungen in Betracht ziehen, damit ab einer kritischen Reynolds-Zahl zusätzlich zum laminaren Fixpunkt ein turbulenter Fixpunkt entstehen kann. Aber auch quantitativ wird das Modell schließlich einige Observablen aus der Turbulenztheorie mit ziemlicher Genauigkeit reproduzieren. Im Anschluss werden wir diesen Modellkern zum einen um stochastische Terme erweitern um das Verhalten transienter Turbulenz nachzuahmen, und zum anderen eine räumliche Erweiterung des Modells in Strömungsrichtung vornehmen, um die Ausbreitung subkritischer Turbulenz zu simulieren.
The onset of turbulence in channel flow can be observed way below the actual linear instability of the laminar profile \parencite{Carlson1982, Orszag1971}. In this subcritical regime, suitably chosen three-dimensional perturbations lead to transiently growing turbulence, showing a spatio-temporal complex, intermittent character in extended domains \parencite{Lemoult2012,Duguet2013}. This transition is characterized by the global, sudden and simultaneous activity of many degrees of freedom \parencite{Grossmann2000}. It differs from the better understood local character of the in comparison rather slowly evolving linear instability at one particular wavenumber, where a cascade of further instabilities leads to ever more complex dynamics \parencite{Eckhardt2017,Manneville2005,ZammertPHD}. While the linear mechanism of non-normal amplification is one important ingredient of self-amplifying turbulence \parencite{Trefethen1993}, nonlinearity is at least a likewise important characteristic on the way of understanding mechanisms of subcritical turbulence within the framework of more or less simple models \parencite{Waleffe1997}. The particular nonlinearities of these models form the state space \parencite{Eckhardt2006, Dauchot1997}, and their precise form ultimately organizes the dynamics we observe. Dwight Barkley recently developed model for pipe flow, consisting of two 1+1-dimensional, coupled FitzHugh-Nagumo type reaction-advection-diffusion equations \parencite{Barkley2011}. The dynamics in these equations, built on excitability and bistability and originally used in the modeling of the axons of the nervous system, mimics the interplay between transient turbulence, transition to turbulence and relaminarization. A surprising number of phenomena are reproduced in just that transition region of pipe flow, although the model is not derived directly from the original momentum equations. Given the performance of this simple model, the idea arose to derive a similar model consisting of two coupled ordinary differential equations more directly from the Navier-Stokes-equations. The analytically derived equations describe the temporal evolution of the turbulent kinetic energy in the direction of flow and perpendicular thereto. Central to this is that in the case of the volumetric mean in stationary case, a balance is established between the production rate of turbulent kinetic energy, the energy transfer rate between the components and the respective dissipation. In the following, term by term is modeled to finally obtain a closed model with two unknowns that represent the turbulent energies in the direction of flow and perpendicular thereto. On a qualitative level, we will base our approach on dimensional-analytic arguments and consider topological conditions to allow a turbulent fixed point to emerge from a critical Reynolds number in addition to the laminar fixed point. But even quantitatively, the model will finally reproduce some observables from turbulence theory with considerable accuracy. Subsequently, we will extend this model kernel by stochastic terms and mimic the behavior of transient turbulence, as well as a spatial extension of the model in the direction of flow to simulate the propagation of subcritical turbulence.
Databáze: OpenAIRE
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