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El estudio de la estructura del conjunto de los números reales ha sido abordado a través de distintas perspectivas. En particular, la teoría de números acomete la clasificación de los números reales en distintas familias, como la distinción racional/ irracional o algebraico/trascendente. En esta tesis se propone una nueva representación del intervalo real [0, 1] a través de grafos, que llamaremos grafos de Haros. Esta construcción reproduce la manera de construir el intervalo unidad a través del Árbol binario de Farey, partiendo de un grafo inicial y una operación de concatenación de grafos de modo que el conjunto resultante está en biyección con los números reales. Una vez que la representación queda bien definida, se analizan propiedades de los números reales a través de sus grafos de Haros asociados. La estructura topológica de los grafos de Haros develará una clasificación de los números reales en distintas familias, siendo la herramienta para estudiar dicha estructura la distribución de grado. Además, se presenta una función de entropía, que resulta ser continua y fractal, donde todos los racionales son mínimos locales y los irracionales cuadráticos máximos locales de la entropía. Finalmente, se presenta un operador de renormalización que actúa sobre los grafos de Haros. La dinámica engendrada por su iteración divide el espacio de grafos de Haros en grafos racionales que son arrastrados al grafo nulo, órbitas periódicas inestables asociadas a los irracionales cuadráticos y en órbitas caóticas para el resto de irracionales. Se acaba con el estudio de la variación de la entropía a lo largo de las trayectorias y ciclos periódicos que dicta el operador renormalización, encontrando la relación entre entropía y renormalización. ABSTRACT The study of the structure of the set of real numbers has been approached from different perspectives. In particular, number theory deals with the classification of real numbers into different families, such as the rational/irrational or algebraic/- transcendental distinctions. In this thesis, we propose a representation of the real interval [0, 1] by using graphs, which we will call Haros graphs. This construction replicates the manner of constructing the unit interval through Farey’s binary tree, starting from an initial graph and a concatenation graph-operator so that the resulting set is in bijection with the real numbers. Once the model is well-defined, the purpose is to analyse the properties of the real numbers through their associated Haros graphs. The topological structure of the Haros graphs will reveal a classification of the real numbers into different families; the instrument to study this structure is the degree distribution. In addition, an entropy function is presented, which turns out to be continuous and fractal, where the rational numbers are local minima and the local maxima are the family of quadratic irrationals. Then, a renormalization operator acting on the Haros graphs is presented. The dynamics generated by its iteration divides the space of Haros graphs into rational graphs that are driven by the initial Haros graph, unstable periodic orbits associated with the quadratic irrationals and chaotic orbits for the rest of the irrationals. The work is finished with a study of how the entropy changes along the trajectories and periodic cycles dictated by the renormalization operator. This is done to figure out how entropy and renormalization are related. |
