Analytical aspects of relaxation for single-slip models in finite crystal plasticity

Autor: Kreisbeck, Carolin
Rok vydání: 2010
Předmět:
DOI: 10.5283/epub.16011
Popis: Modern mathematical approaches to plasticity lead to non-convex minimization problems for which the standard methods of the calculus of variations are not applicable. In this thesis we consider geometrically nonlinear crystal elastoplasticity in two dimensions with one active slip system. In order to derive information about macroscopic material behavior the relaxation of the single incremental problems, which result from the applied time-discrete variational approach, needs to be investigated. Here our studies are restricted to the first time step only. We especially focus on the question of whether realistic systems with an elastic energy leading to large penalization of small elastic strains can be well-approximated by models based on the assumption of rigid elasticity. The interesting finding is that there are qualitatively different answers depending on whether hardening is included or not. In presence of linear hardening we obtain a positive result, which is mathematically backed up by Gamma-convergence. The proof of compactness and the lower bound relies on careful algebraic estimates capturing the anisotropic structure of the problem and on a subtle generalization of the classical div-curl lemma to recover incompressibility in the limit. For the construction of a recovery sequence we use local laminates with position-dependent period and orientation. In the case without hardening, however, the associated relaxed energy density can be shown to vanish for a large class of applied loads, which is due to the sublinear growth of the energy density. Consequently, the desired relation between the rigid model and the one with elastic energy does not hold here. Physically speaking, absence of hardening implies formation of microstructure and very soft macroscopic behavior of the sample in response to a wide range of external forces.
Moderne mathematische Zugänge zu elasto-plastischem Materialverhalten führen über einen zeitdiskreten Energieansatz zu nicht-konvexen Variationsproblemen, die sich den Standardmethoden der Variationsrechnung entziehen. Diese Arbeit beschäftigt sich mit geometrisch nicht-linearer Kristallplastizität und hierbei speziell mit 2D Modellen mit einem aktiven Gleitsystem. Um Informationen über das makroskopische Verhalten solcher Materialien zu erhalten, wird die Relaxierung der einzelnen Inkrementprobleme untersucht, wobei wir uns hier ausschließlich auf einen Zeitschritt beschränken. Unser Augenmerk liegt dabei auf der Frage, ob auf starrer Elastizität basierende Modelle als gute Approximation für physikalisch realistischere Systeme mit elastischer Energie dienen können, zumindest falls letztere elastische Verzerrung energetisch hinreichend stark bestrafen. Die interessante Entdeckung ist nun, dass die Antwort entscheidend davon abhängt, ob man ein Modell mit oder ohne Verfestigung betrachtet. Unter Berücksichtigung linearer Verfestigung bekommt man ein im obigen Sinne positives Ergebnis, das mathematisch mittels Gamma-Konvergenz untermauert wird. Der Beweis der Kompaktheit und der unteren Schranke stützt sich einerseits auf sorgfältige algebraische Abschätzungen, die die anisotrope Struktur des Problems erfassen, und andererseits auf eine geschickte Verallgemeinerung des klassischen div-curl Lemmas, die den Grenzübergang in der Inkompressibilitätsbedingung ermöglicht. Für die Konstruktion einer den Gamma-Grenzwert realisierenden Folge verwenden wir lokale Laminate mit ortsabhängigen Perioden und Orientierungen. Sobald im Modell jedoch auf Verfestigung verzichtet wird, verschwindet die zugehörige relaxierte Energiedichte vollständig auf einer großen Menge von Verformungsgradienten, was auf das sublineare Wachstum der Energiedichte zurückzuführen ist. In diesem Fall kann also nicht von einer guten Approximation zwischen dem starren Modell und dem mit elastischer Energie gesprochen werden. Aus physikalischer Sicht bewirkt das Fehlen von Verfestigung auf mikroskopischer Skala die Bildung von Mikrostrukturen und makroskopisch eine extrem weiche Materialantwort auf eine große Klasse externer Kräfte.
Databáze: OpenAIRE
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