Cauchysche Integralformel und Folgerungen
| Autor: | Dieter Hoffmann, Wilhelm Forst |
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| Rok vydání: | 2012 |
| Zdroj: | Funktionentheorie erkunden mit Maple ISBN: 9783642294112 Springer-Lehrbuch ISBN: 9783540425434 |
| DOI: | 10.1007/978-3-642-29412-9_5 |
| Popis: | Dieses Kapitel enthalt ein Filetstuck der Funktionentheorie. Aus dem Hauptsatz (2. Fassung) folgt fast muhelos ein ganzes Bundel leistungsstarker und z.T. erstaunlicher Satze: Der Hauptsatz bringt — angewandt auf den ’Differenzenquotienten‘ — zunachst die Integralformel, die u. a. zeigt, dass bei einer holomorphen Funktion die Werte auf dem Rand eines beliebigen Kreises die im Inneren schon festlegen, was dann im Identitatssatz noch wesentlich verscharft wird. Aus der Integralformel folgt — via geometrischer Reihe und gleichmasiger Konvergenz — die Potenzreihenentwicklung einer holomorphen Funktion, speziell dass sie beliebig oft differenzierbar ist, und weiter die Integralformel fur die Ableitungen. Daraus ergeben sich leicht Abschatzungen fur die Ableitungen und Koeffizienten der Potenzreihenentwicklung, speziell der Satz von LIOUVILLE. Eine Potenzreihe konvergiert im grosten Kreis um den Entwicklungspunkt, der noch ganz im gegebenen Gebiet liegt. Der Konvergenzradius wird also — ganz anders als im Reellen — durch diese einfache Eigenschaft der dargestellten Funktion charakterisiert. Der Satz von WEIERSTRASS II (uber lokal gleichmasige Konvergenz der Ableitungen) und der Satz uber Gebietstreue — mit dem Prinzip vom Maximum als Folgerung — runden diesen Gedankenkreis ab. |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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