Visual reasoning in Euclidean geometry : the epistemic and representational role of diagrams

Autor: Tamires Dal Magro
Přispěvatelé: Ruffino, Marco, 1963, Ferreirós Domínguez, José Manuel, Amérigo, María de Paz, Casanave, Abel Lassalle, Boccardi, Emiliano, Universidade Estadual de Campinas. Instituto de Filosofia e Ciências Humanas, Programa de Pós-Graduação em Filosofia, UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS
Rok vydání: 2019
Předmět:
Zdroj: Biblioteca Digital de Teses e Dissertações da Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
Universidade Estadual de Campinas (UNICAMP)
instacron:UNICAMP
Popis: Orientador: Marco Antonio Caron Ruffino Tese (doutorado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Filosofia e Ciências Humanas Resumo: Esta tese tem como propósito principal uma investigação do papel dos diagramas na obtenção de resultados sólidos e duradouros na geometria euclidiana. Nesse intuito, o trabalho está estruturado em formato de três artigos, em cada qual o enfoque está em diferentes questões em torno desse tópico, a saber: (i) qual o papel epistêmico que diagramas podem ter em práticas matemáticas distintas; (ii) quais as habilidades que são empregadas no uso regimentado de diagramas na geometria euclidiana; (iii) como diagramas particulares podem ser empregados na justificação de proposições gerais; (iv) como diagramas podem ser empregados em provas por reductio ad absurdum; (v) de que natureza é o tipo de representação diagramática que encontramos nos Elementos. O primeiro artigo que compõe a tese centra-se na análise do uso epistêmico de diagramas em diferentes práticas matemáticas, utilizando como caso de estudo os distintos usos de diagramas como ferramentas de raciocínio em duas práticas matemáticas da antiguidade, presentes na obra grega Elementos e nas obras chinesas Zhou Bi e Nove Capítulos dos Procedimentos Matemáticos. No segundo artigo, argumenta-se contra a afirmação de que o emprego de diagramas nos Elementos consistiria em lacunas das provas. Para tanto, esse artigo percorre os seguintes passos: (1) argumenta-se que é um erro avaliar os méritos da geometria presente nos Elementos a partir das lentes da reconstrução formal de Hilbert; (2) elucida-se as habilidades empregadas nas inferências baseadas em diagramas nos Elementos e mostramos que nesse contexto diagramas são ferramentas matemáticas legítimas; (3) por fim, revisam-se resultados de experimentos recentes que pretendem mostrar que, não somente a prática diagramática euclidiana é estritamente regimentada, mas também está enraizada em habilidades cognitivas que são universalmente compartilhadas. O terceiro artigo avança uma teoria sobre o papel representacional dos diagramas euclidianos, de acordo com a qual são amostras de aspectos co-exatos (chamada de `teoria das amostras¿). Essa teoria é contrastada com duas outras concepções ¿ a concepção instancial e a concepção icônica de Macbeth ¿ com respeito a quão bem elas acomodam três características fundamentais do papel que diagramas desempenham na prática matemática euclidiana, a saber: são usados em provas cujos resultados são gerais; exibem características que a geômetra pode inferir diretamente deles; e são usados somente como recurso de um tipo específico (co-exato) de informação, o que esclarece como são empregados em provas por reductio. Defende-se que a teoria proposta se ajusta melhor que suas concorrentes a essas características. Por fim, ilustram-se as virtudes da teoria das amostras por meio de uma análise do quadrilátero de Saccheri. A seção final da tese relaciona os resultados obtidos nos três artigos e apresenta sugestões para investigação futura Abstract: The main purpose of this thesis is investigating the role of diagrams in the achievement of the solid and lasting results of Euclidean geometry. For that purpose, the work is structured in the form of three academic papers. Each paper assesses different questions surrounding the main topic: (i) which epistemic roles diagrams can have in distinct mathematical practices; (ii) which abilities are employed in the regimented use of diagrams in Euclidean geometry; (iii) how particular diagrams can be employed in the justification of general propositions; (iv) how diagrams can be employed in proofs by reductio ad absurdum; (v) what is the nature of the kind of diagrammatic representation present in the Elements. The first paper that composes the thesis focuses on the analysis of the epistemic role of diagrams in distinct mathematical practices, using as case study the uses of diagrams as reasoning tools in two mathematical practices from antiquity: in the Greek treatise Elements and in the Chinese works Zhou Bi and Nine chapters of mathematical procedures. The second paper argues against the claim that the employment of diagrams in Euclidean geometry gives rise to gaps in the proofs. For this purpose, the paper is structured around three main steps: (1) arguing that it is misleading to evaluate the merits of the geometry presented in the Elements through the lenses of Hilbert¿s formal reconstruction; (2) elucidating the abilities employed in diagram-based inferences in the Elements and showing that, in this context, diagrams are mathematically reputable tools; (3) finally, reviewing recent experimental results purporting to show that, not only is the Euclidean diagram-based practice strictly regimented, it is rooted in cognitive abilities that are universally shared. The third paper is centered on a defense of a theory of the representational role of Euclidean diagrams according to which they are samples of co-exact properties (the `theory of samples¿). This theory is contrasted with two other conceptions ¿ the instantial conception and Macbeth¿s iconic view ¿ with respect to how well they accommodate three fundamental features of the role that diagrams play in the Euclidean mathematical practice: that they are used in proofs whose results are wholly general; that they exhibit the features that the geometer is allowed to infer from them; and that they are ever only used as a source of a specific type of (co-exact) information, something that clears up how they are employed in proofs by reductio. It is argued that the theory of samples is better suited to account for them in comparison with the two other competing views. The paper concludes with an illustration of the virtues of the theory of samples by means of an analysis of Saccheri¿s quadrilateral. The final section of the thesis relates the results achieved in the three papers and presents suggestions for future investigations Doutorado Filosofia Doutora em Filosofia FAPESP 2014/23191-9, 2016/20480-5 CAPES
Databáze: OpenAIRE
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