Informationsfluss in der stochastisch optimalen Steuerung und ein Darstellungstheorem für Meyer-messbare Prozesse

Autor: Beßlich, David
Přispěvatelé: Bank, Peter, Technische Universität Berlin, Ferrari, Giorgio
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2019
Předmět:
Popis: Stochastic control theory determines intervention policies optimizing the evolution of a system subject to randomness. Delicate issues arise when the considered system can jump due to both exogenous shocks and endogenous controls. Here one has to specify what the controller knows when about the exogenous shocks and how and when she can act on this information. Classical optimal control resolves this issue simply by restricting to predictable controls where the controller can only react after an exogenous shock has hit the system. It is perfectly conceivable though that the controller at times receives a signal on impending exogenous shocks that she can use for a proactive intervention and then still react after the shock is fully revealed. The present thesis provides a mathematically rigorous framework to formulate and solve such stochastic optimal control problems with enhanced information flow. Specifically, we propose to use Meyer-σ-fields as a flexible tool to model information flow and illustrate the possibilities of this approach by an in-depth study of a fairly general singular stochastic control problem of irreversible investment with inventory risk. Without signals on significant exogenous shocks the precise timing of control interventions does not matter and the problem can be solved as in Bank and Riedel (2001) via a representation problem studied in Bank and El Karoui (2004). In our setting with shock signals we find optimality of làdlàg controls whose jumps from the left reflect the controller’s reaction to her signals and whose jumps from the right her reaction to the fully revealed shock. To obtain this result, we provide a considerably refined version of the representation result studied in Bank and El Karoui (2004). For a wide class of Meyer-measurable processes this representation yields the Meyer-measurable optimal control. Technically, the proof of this representation result relies on a thorough analysis of a family of optimal stopping problems over divided stopping times. This most general theory of optimal stopping was developed by El Karoui (1981) and relies on the studies by Lenglart (1980) on Meyer-measurable processes. Our analysis requires us to refine some path regularity and projection results from this part of the general theory of stochastic processes. We illustrate our findings in a first explicitly solved case study for the irreversible investment problem with signals on exogenous shocks. For this, we specify a compound Poisson process setting with a parameter for the signal quality and find our làdlàg optimal policies to interpolate from the classical predictable controls operating without signals to optional ones that fully account for any exogenous shock as it happens.
In der stochastischen Kontrolltheorie werden Interventionsstrategien entwickelt, um die Entwicklung eines zufälligen Systems zu optimieren. Probleme treten auf, wenn das betrachtete System durch äußere Schocks oder interne Interventionen springen kann. Hier muss spezifiziert werden, was Controllern wann über die exogenen Schocks bekannt ist und wie und wann auf diese Informationen reagiert werden kann. In der klassischen Kontrolltheorie wird dieses Problem durch Beschränken auf vorhersehbare Kontrollen gelöst, bei denen Controller nur reagieren können, nachdem ein äußerer Schock das System verändert hat. Es ist durchaus denkbar, dass Controller bei drohenden exogenen Schocks ein Signal erhalten, das für eine proaktive Intervention verwendet werden kann und eine mögliche weitere Reaktion erfordert, nachdem der Schock vollständig sichtbar ist. Die vorliegende Arbeit bietet einen mathematischen Rahmen, um solche stochastischen optimalen Kontrollprobleme mit zusätzlichem Informationsfluss zu formulieren und zu lösen. Dafür verwenden wir Meyer-s-Algebren als flexibles Werkzeug zur Modellierung des Informationsflusses. Zur Veranschaulichung der Möglichkeiten dieses Ansatzes untersuchen wir ein sehr allgemeines singuläres stochastisches Kontrollproblem, genauer ein irreversibles Investitionsproblem mit Bestandsrisiko. Ohne Signale zu signifikanten exogenen Schocks spielt das genaue Timing von Interventionen keine Rolle und das Problem kann wie in Bank und Riedel (2001) über ein in Bank und El Karoui (2004) untersuchtes Darstellungsproblem gelöst werden. In unserem Kontrollproblem mit Schocksignalen gilt für optimale Interventionspläne, dass deren Sprünge von links die Reaktion der Controller auf die Signale widerspiegeln, und deren Sprünge von rechts die Reaktion auf den vollständig offenbarten Schock darstellt, wodurch klar wird, dass das Timing der Intervention eine große Rolle spielt, sobald signifikante Schocks möglich sind. Um die optimalen Kontrollen zu erhalten beweisen wir eine deutlich verallgemeinerte Version des Darstellungstheorems aus Bank und El Karoui (2004). Für eine weite Klasse von Meyer-messbaren Prozessen liefert diese Darstellung die optimale Meyer-messbare Kontrolle. Technisch erfordert der Beweis dieses Darstellungstheorems eine genaue Analyse einer Familie von optimalen Stoppproblemen über “geteilte Stoppzeiten”. Diese vermutlich allgemeinste Theorie des optimalen Stoppens wurde von El Karoui (1981) entwickelt und stützt sich auf die von Lenglart (1980) erziehlten Resultate zu Meyer-messbaren Prozessen. In dieser Arbeit benötigen und beweisen wir desweiteren zusätzliche Resultate aus diesem Teil der allgemeinen Theorie stochastischer Prozesse über Pfadverhalten und Projektionseigenschaften im Rahmen der Meyer-s-Algebren. Wir veranschaulichen unsere Ergebnisse in einer ersten explizit gelösten Fall-Studie zum irreversiblen Investitionsproblem mit Bestandsrisiko und Signalen über exogene Schocks mit Hilfe von Meyer-s-Algebren. Hierbei wird der Preis durch einen zusammengesetzten Poisson-Prozess simuliert und die Signale werden durch einen Parameter für die Signalqualität beschrieben. Wir ermitteln für jede mögliche Wahl von Singalparamter eine gesuchte optimale Kontrolle welche zwischen der klassischen vorhersagbaren optimalen Kontrolle, die ohne Signale arbeitet, und der optionalen Kontrolle, die alle exogenen Schocks voll berücksichtigt, interpolieren.
Databáze: OpenAIRE
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