Problème de Lehmer sur les courbes elliptiques à multiplications complexes
| Autor: | Bruno Winckler |
|---|---|
| Přispěvatelé: | Équipe Théorie des Nombres, Institut de Mathématiques de Bordeaux (IMB), Université Bordeaux Segalen - Bordeaux 2-Université Sciences et Technologies - Bordeaux 1-Université de Bordeaux (UB)-Institut Polytechnique de Bordeaux (Bordeaux INP)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS)-Université Bordeaux Segalen - Bordeaux 2-Université Sciences et Technologies - Bordeaux 1-Université de Bordeaux (UB)-Institut Polytechnique de Bordeaux (Bordeaux INP)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), Unité de Mathématiques Pures et Appliquées (UMPA-ENSL), École normale supérieure de Lyon (ENS de Lyon)-Centre National de la Recherche Scientifique (CNRS), École normale supérieure de Lyon (ENS de Lyon), Winckler, Bruno |
| Jazyk: | angličtina |
| Rok vydání: | 2018 |
| Předmět: |
11G50
14G40 11M06 Intersection arithmétique Néron-Tate 01 natural sciences Combinatorics Faltings height Mathematics::Algebraic Geometry arithmetic intersection 0103 physical sciences elliptic curves Arakelov geometry 0101 mathematics Hauteur de Néron-Tate ComputingMilieux_MISCELLANEOUS Mathematics Lehmer problem Hauteur de Faltings Algebra and Number Theory Problème de Lehmer 010102 general mathematics canonical height Fonctions L de Dirichlet Dirichlet L-functions Courbes elliptiques Géométrie d’Arakelov Multiplication complexe [MATH.MATH-NT]Mathematics [math]/Number Theory [math.NT] complex multiplication 010307 mathematical physics [MATH.MATH-NT] Mathematics [math]/Number Theory [math.NT] |
| Zdroj: | Acta Arithmetica Acta Arithmetica, Instytut Matematyczny PAN, 2018, 182 (4), pp.347-396. ⟨10.4064/aa170404-5-11⟩ |
| DOI: | 10.4064/aa170404-5-11⟩ |
| Popis: | We consider the problem of lower bounds for the canonical height on elliptic curves, aiming for the conjecture of Lehmer. Our main result is an explicit version of a theorem of Laurent (who proved this conjecture for elliptic curves with CM up to a epsilon exponent) using arithmetic intersection, enlightening the dependence with parameters linked to the elliptic curve. If GRH holds, then this dependence is reduced to the degree of the base field of the elliptic curve and the relative degree of the algebraic non-torsion point we consider. We also provide an explicit estimate for the Faltings height of an elliptic curve with CM, thanks to an explicit version of Dirichlet's theorem on arithmetic progressions, in some sense. Nous étudions le problème de minoration de la hauteur canonique sur les courbes elliptiques. Notre résultat principal utilise des méthodes d’intersection arithmétique pour retrouver un résultat de Laurent, qui démontrait la conjecture de Lehmer pour les courbes elliptiques à multiplications complexes à un exposant epsilon près, tout en explicitant complètement sa dépendance en divers paramètres liés à la courbe elliptique. Si on suppose l'hypothèse de Riemann généralisée, alors la minoration d'un point algébrique d'ordre infini sur une courbe elliptique à multiplications complexes ne fait intervenir que le degré sur le corps des rationnels du corps de base de la courbe elliptique, et le degré relatif du corps engendré par les coordonnées de ce point. Nous explicitons également une majoration de la hauteur de Faltings d'une telle courbe elliptique, grâce à une version explicite du théorème de la progression arithmétique de Dirichlet (en quelque sorte). |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
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