Über die Maximal Mediated Set Struktur und die Anwendungen Nichtnegativer Circuit Polynome

Autor: Yürük, Oguzhan
Přispěvatelé: Wolff, Timo de, Shiu, Anne
Jazyk: angličtina
Rok vydání: 2021
Předmět:
Popis: Certifying the nonnegativity of a polynomial is a significant task both for mathematical and for scientific applications. In general, showing the nonnegativity of a random polynomial is hard. However, for certain classes of polynomials one can find easier conditions that imply their nonnegativity. In this work we investigate both the theoretic and the applied aspects of a special class of polynomials called circuit polynomials. On the theoretical side, we study the relationship of this class of polynomials with another very well studied class called sums of squares using the notion of the maximal mediated set (MMS). We show that MMS is a property of an equivalence class, rather than a property of a single circuit polynomial. With this in mind, we generate a large database of MMS using the software Polymake, and present some statistical and computational observations. On the applied side, we address to the problem of multistationarity in the chemical reaction networks theory by employing a symbolic nonnegativity certification technique via circuit polynomials. The existence of multiple stationary states for a given reaction network with a given starting point is important, as this is closely related to cellular communication in the context of biochemical reaction networks. The existence of multistationarity can be decided by studying the signs of a relevant polynomial whose coefficients are parameterized by the reaction rates. As a case study, we consider the (de)phosphorylation cycle, and use the theory of nonnegative circuit polynomials in order to find a symbolic nonnegativity certificates for the aforementioned polynomial. We provide a method that describes a non-empty open region in the parameter space that enables multistationarity for the (de)phosphorylation cycle. Moreover, we provide an explicit description of such an open region for 2 and 3-site cases.
Der Nachweis der Nichtnegativität eines Polynoms ist eine wichtige Aufgabe sowohl für mathematische als auch für wissenschaftliche Anwendungen. Im Allgemeinen ist es schwierig, die Nichtnegativität eines Zufallspolynoms zu zeigen. Für bestimmte Klassen von Polynomen kann man jedoch einfachere Bedingungen finden, die ihre Nichtnegativität implizieren. In dieser Arbeit untersuchen wir sowohl die theoretischen als auch die angewandten Aspekte einer speziellen Klasse von Polynomen, die als circuit Polynome bezeichnet werden. Auf der theoretischen Seite untersuchen wir die Beziehung dieser Klasse von Polynomen mit einer anderen sehr gut untersuchten Klasse namens sums of squares unter Verwendung des Begriffs der maximal mediated set (MMS). Wir zeigen, dass MMS eher eine Eigenschaft einer Äquivalenzklasse als eine Eigenschaft eines circuit polynom ist. Vor diesem Hintergrund erstellen wir mit der Polymake-Software eine große MMS-Datenbank und präsentieren einige statistische und rechnerische Beobachtungen. Auf der angewandten Seite adressieren wir das Problem der Multistationarität in der Theorie chemischer Reaktionsnetzwerke durch die Anwendung einer symbolischen Nichtnegativitäts-Zertifizierungstechnik über circuit Polynome. Die Existenz mehrerer stationärer Zustände für ein gegebenes Reaktionsnetzwerk mit einem gegebenen Startpunkt ist wichtig, da dies eng mit der zellulären Kommunikation im Kontext biochemischer Reaktionsnetzwerke zusammenhängt. Die Existenz von Multistationarität kann durch Studium der Vorzeichen eines relevanten Polynoms entschieden werden, dessen Koeffizienten durch die Reaktionsgeschwindigkeiten parametrisiert werden. Betrachten Sie als Fallbeispiel den (De)Phosphorylierungszyklus und verwenden Sie die Theorie der circuit Polynome, um ein symbolisches Nichtnegativitätszertifikat für das obige Polynom zu finden. Darüber hinaus bieten wir eine explizite Beschreibung einer solchen offenen Region für 2- und 3-Site-Fälle.
Databáze: OpenAIRE
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