Some analytic properties of the Weyl function of a closed linear relation
| Autor: | O.G. Storozh |
|---|---|
| Jazyk: | angličtina |
| Rok vydání: | 2018 |
| Předmět: | |
| Zdroj: | Karpatsʹkì Matematičnì Publìkacìï, Vol 10, Iss 1, Pp 197-205 (2018) Carpathian Mathematical Publications; Vol 10, No 1 (2018); 206-214 Карпатские математические публикации; Vol 10, No 1 (2018); 206-214 Карпатські математичні публікації; Vol 10, No 1 (2018); 206-214 |
| ISSN: | 2313-0210 2075-9827 |
| Popis: | Let $L$ and $L_{0}$, where $L$ is an expansion of $L_{0}$, be closed linear relations (multivalued operators) in a Hilbert space $H$. In terms of abstract boundary operators (i.e. in the form which in the case of differential operators leads immediately to boundary conditions) some analytic properties of the Weyl function $M(\lambda)$ corresponding to a certain boundary pair of the couple $(L, L_{0}),$ are studied.In particular, applying Hilbert resolvent identity for relations, the criterion of invertibility in the algebra of bounded linear operators in $H$ for transformation $M(\lambda) - M(\lambda_{0})$ in certain small punctured neighbourhood of $\lambda_{0} $ is established. It is proved that in this case $\lambda _{0}$ is a first-order pole for the operator-function $\left(M(\lambda )- M(\lambda_{0} )\right)^{-1} $. The corresponding residue and Laurent series expansion are found.Under some additional assumptions, the behaviour of so called $\gamma$-field $Z_{\lambda}$ (being an operator-function closely connected to $M(\lambda)$) as $\lambda \to - \infty $ is investigated. Нехай $L$ та $L_{0}$, де $L_{0} \subset L,$ -- замкнені лінійні відношення (багатозначні оператори) у комплексному гільбертовому просторі $H$. У термінах абстрактних крайових операторів (тобто у вигляді, який у випадку диференціальних операторів приводить безпосередньо до граничних умов) досліджуються деякі аналітичні властивості функції Вейля $M(\lambda),$ яка відповідає парі $(L, L_{0})$ та певній її крайовій парі.Зокрема, застосовуючи резольвентну тотожність Гільберта для відношень, встановлено критерій оборотності у алгебрі обмежених лінійних операторів, діючих у $H,$ для відображення $M(\lambda) - M(\lambda_{0} )$ у деякому достатньо малому проколеному околі точки $\lambda _{0}.$ Доведено, що в цьому випадку $\lambda _{0}$ є полюсом першого порядку для оператор-функції $\left(M(\lambda) - M(\lambda _{0})\right)^{-1}.$ Знайдено відповідні лишок та розвинення у ряд Лорана.При деяких додаткових припущеннях досліджується поведінка при $\lambda \to -\infty$ так званого $\gamma$-поля $Z_{\lambda},$ яке являє собою оператор-функцію, тісно пов'язаною з $M(\lambda).$ |
| Databáze: | OpenAIRE |
| Externí odkaz: |
|