Beweisen:Eine Analyse des Beweisprozesses und der ihn beeinflussenden Faktoren

Autor: Stein, Martin
Přispěvatelé: Universitäts- und Landesbibliothek Münster
Jazyk: němčina
Rok vydání: 2022
Předmět:
Popis: Die hier vorgelegte Neuauflage der Habilitationsschrift des Verfassers von 1984 zeigt den Stand der Forschung zu Fragen des Beweisens im Mathematikunterricht in den frühen 80er Jahren und bringt erste Ansätze qualitativer Untersuchungen zu diesem Thema. Die hier vorgestellten theoretischen Analysen zum Beweisen bauten auf einer so vollständig wie irgend möglichen Erfassung aller deutsch- und englischsprachigen Literatur zur Logik in der Oberstufe und zum Beweisen auf, die im Zentralblatt für Didaktik der Mathematik veröffentlicht worden sind und insgesamt ca. 550 Positionen umfassen (mit Doppelnennung). Anschließend werden die Phasen des Beweisprozesses und die ihn beeinflussenden Faktoren beschrieben. Dabei gehen sowohl theoretischen Analysen wie auch umfangreiche empirische Auswertungen in die Beschreibung ein. Hervorzuheben ist die Beobachtung, dass bei den beeinflussenden Faktoren auch die impliziten Vorstellungen der Schüler*innen zum Beweisen eine Rolle spielen, und dass diese wiederum durch das Untersuchungsdesign beeinflusst werden. Eine Unterrichtsreihe zur Förderung der Beweisfähigkeit auf konkretem Niveau schließt das Buch ab. Das Buch wurde 1989 mit dem damit erstmalig verliehenen Förderpreis der Gesellschaft für Didaktik der Mathematik (GDM) ausgezeichnet.
VORWORT DER REIHENHERAUSGEBER ..... I VORWORT DES VERFASSERS ZUR NEUAUFLAGE ..... III VORWORT VON 1984 ..... V TEIL I DIDAKTISCHE BEWEISKONZEPTE ..... 1 1. Mathematische Beweiskonzepte ..... 2 1.1 Dimensionen zur Erfassung mathematischer Beweiskonzepte ..... 2 1.2 Der Begriff des Beweises auf verschiedenen Explizitheits- und Ab-straktheitsniveaus ..... 3 1.2.1 Das Niveau der mathematisch-logischen Theorie ..... 4 1.2.2 Das Niveau der mathematischen Theorie ..... 7 1.2.3 Das Niveau der lokal geordneten Theorie ..... 9 1.2.4 Das Niveau der Alltagstheorie ..... 10 1.3 Beispiele ..... 11 1.3.1 Beispiele zur Dimension "Explizitheit" auf abstraktem Niveau ..... 11 1.3.2 Beispiele zur Dimension "Abstraktheit" auf dem Niveau mathematischer Theorie ..... 31 1.3.3 Beispiele zur Dimension "Abstraktheit" auf dem Niveau lokal geordneter Theorien ..... 36 1.3.4 Ein Beispiel für einen auf dem Niveau der Alltagstheorie geführten Beweis ..... 40 1.4 Zusammenschau ..... 42 2. Psychologische Beweiskonzepte ..... 44 2.1 Die Einordnung von Beweisaufgaben mittels des Schemas von MERRILL/BOUTWELL ..... 45 2.2 Die Modifikation der Verhaltensdimension von MERRILL/BOUTWELL ..... 49 3. Eine Übersicht über didaktische Arbeiten zum Beweisen anhand der ihnen zugrundeliegenden didaktischen Beweiskonzepte ..... 55 3.1 Einphasige Untersuchungen ..... 56 3.1.1 Mathematisch-logische Theorie ..... 56 3.1.2 Mathematische Theorie ..... 57 3.1.3 Lokal geordnete Theorie ..... 59 3.1.4 Alltagstheorie ..... 64 3.1.5 Eine Untersuchung zur Beweisfähigkeit von Schülern bei variiertem mathematischem Beweiskonzept ..... 64 3.1.6 Zusammenfassung ..... 69 3.2 Zweiphasige Untersuchungen ..... 70 3.2.1 Die Untersuchung von JEFFERY ..... 71 3.2.2 Die Untersuchung von KING ..... 75 3.2.3 Die Untersuchung von CARLSON ..... 76 3.3 Ausblick ..... 78 TEIL II EMPIRISCHE ZUGÄNGE ZUR ERFASSUNG DER BEWEISFÄHIGKEIT ..... 82 1. Argumentationsaufgaben und ihre logischen Typen ..... 84 1.1 Schlussfiguren, die den Beweistypus bestimmen ..... 84 1.1.1 Die Bezeichnung von Beweistypen durch Schlussfiguren in der Mathematik ..... 84 1.1.2 Die Bezeichnung von Beweistypen durch Schlussfiguren in der Didaktik ..... 88 1.2 Der sequentielle Beweistyp ..... 89 1.3 Der Typ einer Argumentationsaufgabe ..... 95 2. Experimentelle Konzepte zum Beweisen in der Literatur ..... 100 2.1 Tests ..... 100 2.1.1 Tests bei Arbeiten zur Überprüfung von Unterrichtskonzepten ..... 101 2.1.2 Tests bei Arbeiten zur Feststellung des Leistungsniveaus ..... 101 2.1.3 Tests bei Arbeiten mit psychologischer Fragestellung ..... 105 2.2 Erhebungsmethoden ..... 105 2.2.1 Schriftlicher Test ..... 106 2.2.2 Begleitendes Interview ..... 107 2.2.3 Unterrichtsprotokoll/Schülergruppenbeobachtung ..... 109 2.2.4 Dialogtest ..... 110 2.2.5 Nachträgliches Interview ..... 113 2.3 Auswertungsverfahren ..... 115 2.3.1 Aufgabenabhängige Bewertung ..... 116 2.3.2 Bewertung mittels aufgabenunabhängiger Kategorien ..... 120 2.4 Zusammenfassung ..... 127 3. Entwicklung eines aufgabenunabhängigen Auswertungsverfahrens für Lösungen sequentieller Argumentationsaufgaben ..... 129 3.1 Beobachtungen zum sprachlichen Begründungsverhalten von Schülern ..... 130 3.1.1 Der Gebrauch der begründenden Partikel bei 11-12jährigen Schülern ..... 131 3.1.1.1 Die Verwendung begründender sprachlicher Partikel ..... 132 3.1.1.2 Nicht-Standard – Formulierungen für einfache Schlussfolgerungen ..... 132 3.1.2 Aufzählungen zur Herstellung von Begründungszusammenhängen ..... 134 3.2 Ein Verfahren zur Formalisierung von Schülertexten bei sequentiellen Argumentationsaufgaben ..... 140 3.2.1 Das Verfahren zur Formalisierung von Schülerleistungen bei sequentiellen Begründungsaufgaben ..... 142 3.2.1.1 Objektnennungen ..... 143 3.2.1.2 Gleichungen ..... 143 3.2.1.3 Verknüpfung von Texten durch "weil" ..... 146 3.2.1.4 Verknüpfung von Texten durch "also", "darum", etc. ..... 147 3.2.1.5 Verknüpfung von Texten durch "wenn-dann" ..... 150 3.2.1.6 Verknüpfung von Texten durch "und" etc. ..... 151 3.2.1.7 Trennung von "Antwort" und "Beweis" in Texten ..... 155 3.2.1.8 Formalisierung nicht-sequentieller Beweise ..... 157 3.2.1.9 Handlungsabläufe in Beweistexten ..... 158 3.2.1.10 Weitere Beispiele ..... 159 3.2.2 Demonstration der Wirkung des Formalisierungsverfahrens auf strukturell ähnliche, aber sprachlich verschiedene Schülertexte ..... 161 3.3 Die Bewertung von Beweistexten ..... 162 3.3.1 Eine Bewertung der Vollständigkeit eines Beweistextes ..... 163 3.3.1.1 Grundlegende Überlegungen zu einem "strengen" Punktwertungsverfahren ..... 163 3.3.1.2 Beschreibung des Punktwertungsverfahrens ..... 167 3.3.1.3 Zur Rechtfertigung des Punktwertungsverfahrens bei sequentiellen Beweistexten ..... 173 3.3.2 Bewertung nicht-sequentieller Schülertexte bei Argumentationsaufgaben ..... 177 3.3.2.1 Grundlegende Überlegungen zu einem "weichen" Punktwertungsverfahren ..... 177 3.3.2.2 Beschreibung des Punktwertungsverfahrens ..... 179 3.3.2.3 Zur Rechtfertigung des Punktwertungsverfahrens bei nichtsequentiellen Beweistexten ..... 183 4. Beschreibung des den eigenen Untersuchungen zugrundeliegenden Erhebungskonzeptes ..... 186 4.1 Tests ..... 186 4.1.1 Tests zur Untersuchung des Einflusses von Unterricht und Aufgabenpräsentation auf das Argumentationsverhalten ..... 187 4.1.2 Tests zur Erfassung des Argumentationsverhaltens und der Vorstellungen über das Beweisen ..... 193 4.2 Erhebungsmethoden ..... 197 4.3 Auswertungsmethoden ..... 198 TEIL III DER BEWEISABLAUF UND DIE IHN BEEINFLUSSENDEN FAKTOREN ..... 199 1.Der Beweisverlauf..... 201 1.1 Vorbemerkungen ..... 201 1.1.1 Erste Begriffsbestimmungen ..... 201 1.1.2 Ausgangsmaterialien für eine Strukturierung des Beweisablaufs ..... 202 1.2 Der Satzfindungsprozess ..... 203 1.2.1 Die Spontaneität des Satzfindungsprozesses ..... 203 1.2.2 Verschiedene Lösungsansätze beim Satzfindungsprozess ..... 205 1.3 Der Beweisprozess und seine Phasen ..... 205 1.3.1 Ein Modell zu den Phasen des Beweisprozesses aus der Sicht der heuristischen Literatur ..... 206 1.3.2 Die Phasen des Beweisprozesses bei einfachen geometrischen Beweisaufgaben ..... 213 1.3.2.1 Eine Illustration des Modells zur Darstellung des Beweisprozesses durch zwei Schülerdialoge..... 213 1.3.2.2 Überlegungen zum Abschluss des Beweisprozesses ..... 219 1.4 Entwicklung eines Modells zum Beweisablauf ..... 223 1.4.1 Eine erste Darstellung und ihre Problematik ..... 223 1.4.2 Rückverweise auf den Satzfindungsprozess ..... 224 1.4.3 Rückverweise auf die Phase der Suche nach Zusammenhängen ..... 232 1.4.4 Rückverweise auf die Phase der deduktiven Durcharbeitung ..... 234 1.4.5 Zusammenfassende Darstellung des Modells zum Beweisablauf ..... 234 2.Implizite Beweismodelle und ihr Einfluss auf Beweisabläufe bei Argumentationsaufgabenverschiedenen Typs235 2.1 Vorbemerkungen ..... 235 2.1.1 Personenabhängige Faktoren in der Literatur ..... 235 2.1.2 Eine eigene Untersuchung zur Erfassung impliziter Beweismodelle und ihres Einflusses auf den Beweisablauf ..... 237 2.2 Beobachtungen zum Einfluss impliziter Modelle auf den Beweisablauf bei sequentiellen Argumentationsaufgaben ..... 242 2.2.1 Satzfindungsprozesse ..... 242 2.2.2 Erklärungsansätze ..... 242 2.2.3 Implizite Modelle als Mittler zwischen Satzfindungsprozess und Erklärung ..... 246 2.3 Beobachtungen zum Einfluss impliziter Modelle auf den Beweisablauf bei Argumentationsaufgaben vom Typ Generalisierung ..... 259 2.3.1 Erklärungsansätze ..... 259 2.3.2 Satzfindungsprozesse ..... 262 2.3.3 Implizite Modelle als Mittler zwischen Satzfindungsprozess und Erklärung ..... 268 3.Testabhängige Faktoren und ihr Einfluss auf den Beweisablauf ..... 272 3.1 Eine Untersuchung zum Einfluss variierter Aufgabenpräsentation auf den Beweisablauf bei Schülern der Hauptschule und des Gymnasiums ..... 273 3.1.1 Fragestellung und Präsentationsformen ..... 273 3.1.2 Die Untersuchung des Einflusses der Pyramidenpräsentation in einer fünften Klasse/Hauptschule ..... 275 3.1.2.1 Allgemeine Bemerkungen zur Klasse und zur Anlage der Untersuchung ..... 275 3.1.2.2 Der Vortest und seine Ergebnisse ..... 278 3.1.2.3 Sequentielle Erklärungsansätze beim Arbeitsblatt-Test und beim Test "in der Pyramide" ..... 280 3.1.2.4 Der Test "in der Pyramide" und seine Ergebnisse im Vergleich zum "Arbeitsblatt-Test" ..... 281 3.1.2.5 Diskussion ..... 284 3.1.3 Der Einfluss der Pyramiden-Präsentation in einer sechsten Klasse/Gymnasium ..... 286 3.1.3.1 Allgemeine Bemerkungen zur Klasse und zur Anlage der Untersuchung ..... 286 3.1.3.2 Ergebnisse ..... 287 3.1.4 Zusammenschau der Ergebnisse aus den Untersuchungen an Hauptschule und Gymnasium ..... 291 3.2 Beobachtungen zum Einfluss des Aufgabenkontextes auf den Beweisablauf ..... 291 3.3 Überlegungen zum Einfluss der Erhebungsmethoden auf den Beweisablauf ..... 294 TEIL IV EINE UNTERSUCHUNG ÜBER DIE AUSWIRKUNGEN EINER FÖRDERUNG DER BEWEISFÄHIGKEIT AUF KONKRETEM NIVEAU ..... 299 1. Experimentelles Design und Erhebungskonzept ..... 300 1.1 Experimentelles Design ..... 300 1.2 Erhebungskonzept ..... 300 1.2.1 Die Testaufgaben ..... 300 1.2.2 Erhebungsmethode ..... 302 1.2.3 Auswertungsverfahren ..... 302 2. Die Unterrichtsreihe ..... 304 2.1 Thematik der Reihe ..... 304 2.2 Allgemeine Struktur der Reihe ..... 305 2.3 Verlauf der Reihe ..... 305 3. Ergebnisse des Versuchs ..... 322 3.1 Schriftliche Tests ..... 322 3.2 Dialogische Tests ..... 324 3.3 Diskussion ..... 325 ANHANG A ..... 326 Tabellen zu den Tests zur Rechtfertigung des harten und des weichen Punktewertungsverfahrens ..... 326 ANHANG B ..... 329 1. Tests zur Unterrichtsreihe (Teil IV) ..... 329 Auswertung der schriftlichen Tests in Versuchs- und Kontrollklassen ..... 330 2. Zusammenfassende Übersicht über die Dialoge in der Versuchs- und der Kontrollklasse ..... 336 Dialog-Protokolle Versuchs- und Kontrollklasse ..... 339 LITERATURVERZEICHNIS ..... 360
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